Topologia działania torusa 1000-1M12TDT
Wykład będzie poświęcony rozmaitościom różniczkowym dopuszczającym działanie torusa (produktu okręgów). Wiele ważnych przykładów działań dostarcza zespolona geometria algebraiczna oraz geometria symplektyczna. Bedziemy zajmować się ważnymi niezmiennikami topologicznymi działania: grupami ekwiwariantnych kohomologii. Często dziłanie ma jedynie skończonie wiele punktów stałych. Wtedy twierdzenie o lokalizacji pozwala w zaskakujący sposób powiązać topologię rozmaitości z pewnymi kombinatorycznymi obiektami: GKM-grafami. Ciekawe rezultaty otrzymuje się badając naturalne dziłania torusa na grassmannianach. Prawa rządzące rachunkiem kohomologii grassmanianu przekładają się na tożsamości w ciele funkcji wymiernych wielu zmiennych.
Na wykładzie omówię:
- Przykłady rozmaitości z działaniem torusa (grassmanniany, rozmaitości flag, rozmaitości toryczne)
- Ekwiwariantne kohomologie dla działania torusa
- Twierdzenie o lokalizacji Atiyah-Botta (lub Berline-Vergne)
- Grafy GKM (Goresky-Kottwitz-MacPherson)
- Zastosowanie twierdzenia lokalizacji do rachunku Schuberta na grassmanianach
Rodzaj przedmiotu
Wymagania (lista przedmiotów)
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Znajomość podstawowych narzędzi ekwiwariantnej topologi, znajomość wielu naturalnych przykładów działania torusa na rozmaitościach i uniejętność praktycznego obliczania omawianych niezmienników.
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń na podstawie zadań rozwiązywanych na zajęciach (50%) i zadań domowych (50%)
Egzamin ustny: problemy do samodzielnego rozwiązania (50%),
sprawdzenie znajomości materiału z wykładu (50%)
Literatura
W. Fulton, Equivariant cohomology in algebraic geometry, lectures at Columbia University, notes by Dave Anderson, 2007.
V. Guillemin, S. Sternberg,Supersymmetry and equivariant de Rham theory. Springer-Verlag, Berlin, 1999
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: