Funkcje analityczne 1000-134FAN
1. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Funkcje holomorficzne. Równania Cauchy'ego-Riemanna. Odwzorowania konforemne.
2. Ciągi i szeregi funkcyjne zespolone. Szeregi potęgowe zespolone. Wzór na promień zbieżności. Twierdzenie Abela o ciągłości na brzegu koła zbieżności. Różniczkowanie wyraz po wyrazie. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, gałęzie logarytmu i potęgi zespolonej.
3. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych i sfera Riemanna. Funkcje wymierne i grupa homografii.
4. Całka funkcji wzdłuż drogi. Twierdzenie Cauchy'ego i jego podstawowe konsekwencje: wzór całkowy Cauchy'ego, nierówności Cauchy'ego, analityczność funkcji holomorficznych.
5. Zasada identyczności. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Twierdzenie Liouville'a i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Twierdzenie Morery.
6. Całki po krzywych homotopijnych. Twierdzenie Cauchy'ego. Istnienie funkcji pierwotnej w obszarze jednospójnym. Gałąź logarytmu. Całki krzywoliniowe. Funkcje harmoniczne i ich związek z funkcjami holomorficznymi. Istnienie funkcji harmonicznej sprzężonej w obszarze jednospójnym.
7. Rozwijanie funkcji holomorficznej w pierścieniu w szereg Laurenta. Twierdzenie Riemanna o osobliwości pozornej. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa. Funkcje meromorficzne.
8. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania do obliczania całek w dziedzinie rzeczywistej.
9. Indeks punktu względem krzywej. Zasada argumentu. Twierdzenie Rouchégo. Twierdzenie Hurwitza.
10. Twierdzenie o krotnościach i o odwzorowaniu otwartym. Zasada maksimum. Lemat Schwarza. Twierdzenie Riemanna (bez dowodu).
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2024Z: | W cyklu 2023Z: |
Efekty kształcenia
1. Zna interpretacje przekształceń homograficznych jako przekształceń sfery Riemanna i potrafi znajdować przekształcenia biholomorficzne koła na pewne standardowe obszary.
2. Zna podstawowe zastosowania twierdzenia Cauchy’ego.
3. Potrafi obliczać całki oznaczone (także niewłaściwe) funkcji rzeczywistych, stosując twierdzenie o residuach.
4. Umie posługiwać się rozwinięciem Laurenta, zna związaną z nim charakteryzację osobliwości i zna pojecie funkcji meromorficznej.
5. Zna i potrafi zastosować twierdzenia Rouchégo i zasadę argumentu.
6. Rozumie znaczenie metod analizy zespolonej dla podstawowych działów matematyki, a także znaczenie pojęć topologicznych (indeksu pętli, jednospójności, homotopii dróg) dla uzyskiwania wyników analitycznych o charakterze ilościowym.
Kryteria oceniania
na podstawie punktów uzyskiwanych przez studenta w czasie semestru
oraz wyniku egzaminu
Literatura
1. J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2010.
2. A. Ganczar, Analiza zespolona w zadaniach, PWN, Warszawa 2010.
3. J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa 2005.
4. F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 2006.
5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.
6. S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne, Monografie Matematyczne, tom 28, PWN, Warszawa 1952.
(w postaci plików pdf: http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10)
7. B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: