Analiza stochastyczna 1000-1M04AST

Chodzi o omówienie kilku pojęć, twierdzeń oraz dowodów, które nie mieszczą się w dwóch fakultatywnych wykładach poświęconych procesom stochastycznym. Z racji ich wagi i głębi powinny być one interesujące nie tylko dla studentów specjalizujących się w matematyce finansowej (zastosowania w tej dziedzinie pojawiły się dopiero niedawno), ale i dla innych, po prostu lubiących matematykę i posiadających odpowiednią kulturę matematyczną.

Przykładowe tematy, to dowód twierdzenia Dooba-Meyera (w przypadku ciągłym) o rozkładzie podmartyngału, będącego podstawą definicji całki stochastycznej względem martyngału, a także analiza stochastycznych równań różniczkowych ze współczynnikami niekoniecznie lipschitzowskimi. Sformułujemy warunki zapewniające istnienie mocnego rozwiązania. Ważne są tu związki między rozwiązaniami mocnymi i słabymi; w tym kontekście zajmiemy się twierdzeniem Stroocka- Varadhana o słabych rozwiązaniach. Warto także zająć się własnościami rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych, takimi jak np. `własność porównywania'. W zależności od wiedzy wyniesionej przez słuchaczy z procesów stoch. II trzeba będzie uzupełnić wiadomości o wzorze Feynmana-Kaca i o jego zastosowaniach. I wreszcie, można i warto omówić uogólnienia całki stochastycznej. W zależności od zainteresowań słuchaczy można pójść albo w kierunku całki względem procesów nieciągłych albo zająć się całką wielokrotną względem procesu Wienera a następnie całką z procesów `zależnych od przyszłości' (całką Skorochoda).

Literatura:
- Karatzas, I., Shreve, S. Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag
- Revuz, D., Yor, M. Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer.
- Nualart, D. The Malliavin Calculus and Related Topics, Springer-Verlag
- Bojdecki, T. Teoria General de Procesos e Integración Estoc'astica, Aportaciones Matem'aticas, Soc. Matem. Mexicana
- Dellacherie, C., Meyer, P.A. Probabilities and Potential. Theory of Martingales, North Holland.

Założenia: Niezbędne: Procesy stochastyczne I, Procesy stochastyczne II. Wskazane: Analiza funkcjonalna I.