Analiza funkcjonalna I 1000-135AF1
1. Definicja przestrzeni Banacha, przestrzenie ciągowe, przestrzenie C(K), przestrzenie funkcji całkowalnych z p-tą potęgą - zupełność, przypomnienie nierówności Hoeldera i Minkowskiego. Pojęcie funkcjonału liniowego i jego normy. Przykłady. (2-3 wykłady)
2. Przestrzeń Hilberta, układy i bazy ortonormalne, twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przykłady baz ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki. Postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. (2-3 wykłady)
3. Operatory liniowe, norma operatora. Przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i twierdzenie Radona-Nikodyma, transformata Fouriera i twierdzenie Plancherela. (1-3 wykłady)
4. Operatory sprzężone na przestrzeni Hilberta. Operatory unitarne. Diagonalizacja operatora zwartego i samosprzężonego. (2-3 wykłady)
5. Twierdzenie Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu. (2-3 wykłady)
6. Ponadto, mogą zostać omówione następujące tematy: Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Banacha, w szczególności przestrzenie sprzężone do przestrzeni C(K) i przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą. Operatory sprzężone na przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
Wiedza i umiejętności:
1. Zna definicję i własności przestrzeni Banacha, przestrzeni
ciągowych, przestrzeni C(K), przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą
potęgą, nierówności Hoeldera i Minkowskiego, pojęcie funkcjonału
liniowego i jego normy.
2. Zna definicję i własności przestrzeni Hilberta, układu i bazy
ortonormalnej, twierdzenie o rzucie ortogonalnym, przykłady baz
ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki, postać
funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta.
3. Zna definicje i własności operatorów liniowych, normy operatora,
przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i
twierdzenie Radona-Nikodyma, transformatę Fouriera i twierdzenie
Plancherela.
4. Zna definicje i własności operatorów sprzężonych na przestrzeni
Hilberta, operatorów unitarnych, Twierdzenie o diagonalizacji
operatora zwartego i samosprzężonego.
5. Zna twierdzenia Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu.
6. Zna definicję i własności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni
Banacha, w szczególności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni C(K) i przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, operatora sprzężonego na przestrzeniach Banacha, preliminaria słabej i słabej z gwiazdką zbieżności, twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym.
7. Posiada umiejętności konstruowania rozumowań matematycznych: dowodzenia twierdzeń, jak i obalania hipotez poprzez konstrukcje i dobór kontrprzykładów.
Kompetencje społeczne:
1. Rozumie znaczenie analizy funkcjonalnej jako abstrakcyjnego narzędzia w innych działach matematyki.
2. Posługuje się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach.
Literatura
W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986.
J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982 (wyd. 2).
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: