Wybrane zagadnienia z analizy funkcjonalnej 1000-135ZAF
1. Własności spektralne operatorów zwartych na przestrzeniach Banacha; alternatywa Fredholma i twierdzenie Riesza-Schaudera; zastosowania do równań całkowych.
2. Przestrzenie liniowo-topologiczne; lokalna wypukłość topologii zadanych przez rodzinę półnorm; słabe i *-słabe topologie; twierdzenie Banacha-Alaoglu; punkty ekstremalne i twierdzenie Kreina-Milmana.
3. Elementy teorii algebr Banacha i C*-algebr; algebra Calkina a widmo istotne i operatory Fredholma; transformata Gelfanda i twierdzenie Gelfanda-Najmarka.
4. Miary spektralne i rozkład jedności; twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych na przestrzeniach Hilberta; rachunek funkcyjny; operatory dodatnie i unitarne - rozkład polarny.
5. Algebry splotowe - transformata Fouriera jako transformata Gelfanda; wstęp do teorii dystrybucji - dystrybucje temperowane i transformata Fouriera; twierdzenie tauberowskie Wienera i jego zastosowanie do dowodu twierdzenia o liczbach pierwszych.
Kierunek podstawowy MISMaP
Rodzaj przedmiotu
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Wiedza i umiejętności:
1. Rozumie teorię Riesza operatorów zwartych na przestrzeniach Banacha oraz przykłady jej zastosowań do równań całkowych.
2. Potrafi wskazać przykłady naturalnego występowania przestrzeni (lokalnie wypukłych) liniowo-topologicznych, jak również słabych i *-słabych topologii w różnych strukturach matematycznych.
3. Potrafi sformułować i rozumie twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych na przestrzeni Hilberta - abstrakcyjne podejście przez teorię C*-algebr oraz ważne konsekwencje takie jak rachunek funkcyjny.
4. Rozumie transformatę Fouriera jako ważne narzędzie występujące w różnych aspektach - jako sposób transformowania "dziedziny czasu" na "dziedzinę częstotliwości", jako transformatę Gelfanda algebry splotowej, jako transformatę działająca na dystrybucjach temperowanych.
5. Zna podstawy teorii dystrybucji, pojęcie dystrybucji temperowanej. Rozumie ideę zastosowań abstrakcyjnej analizy funkcjonalnej do twierdzeń tauberowskich, a tych z kolei do dowodu jednego z najważniejszych twierdzeń teorii liczb, tj. twierdzenia o liczbach pierwszych.
Kompetencje społeczne:
1. Rozumie znaczenie analizy funkcjonalnej jako abstrakcyjnego narzędzia w innych działach matematyki.
Kryteria oceniania
Ocena końcowa obliczona na podstawie punktów za ćwiczenia i wyniku egzaminu.
Literatura
1. W. Arveson, A short course on spectral theory, Springer 2002.
2. J.B. Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag 1985.
3. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach space theory, Springer 2011.
4. E. Kaniuth, A course in commutative Banach algebras, Springer 2009.
5. R.E. Megginson, An introduction to Banach space theory, Springer 1998.
6. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
7. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.
8. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2012.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: