Analiza funkcjonalna 1000-135AF
1. Przestrzenie unormowane, przykłady przestrzeni ciągowych i przestrzeni funkcyjnych. Twierdzenie Mazura o oddzielaniu zbiorów wypukłych i twierdzenie Hahna-Banacha.
2. Przestrzenie Banacha, przestrzenie Banacha ograniczonych operatorów liniowych, przestrzenie dualne i operatory sprzężone. Operatory zwarte i twierdzenie Riesza-Schaudera o spektrum zwartego endomorfizmu przestrzeni Banacha.
3. Przestrzenie Hilberta, rzuty ortogonalne, bazy ortonormalne w ośrodkowych przestrzeniach Hilberta, układ trygonometryczny. Postać ograniczonych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta, dowód twierdzenia Radona- Nikodyma, przestrzenie dualne do L^p(mu).
4. Sprzężenie ograniczonego endomorfizmu przestrzeni Hilberta, operatory unitarne i samosprzężone, twierdzenie spektralne dla zwartych operatorów samosprzężonych.
5. Twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym i wykresie domkniętym.
6. Słaba oraz *-słaba zbieżność w przestrzeniach Banacha.
Kierunek podstawowy MISMaP
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024Z: | W cyklu 2024L: | W cyklu 2023Z: |
Efekty kształcenia
Student:
1. Widzi związki analizy funkcjonalnej z innymi działami matematyki.
2. Zna podstawowe pojęcia i przykłady analizy funkcjonalnej, twierdzenie Hahna-Banacha oraz twierdzenie Mazura o oddzielaniu.
3. Zna twierdzenie Riesza-Schaudera o spektrum endomorfizmu zwartego, twierdzenie Banacha-Steinhausa oraz twierdzenia o odwzorowaniu otwartym i wykresie domkniętym.
3. Zna podstawowe własności przestrzeni Hilberta, zna dowód twierdzenia Radona-Nikodyma wykorzystujący przestrzenie Hilberta, zna pojęcia operatorów unitarnych i samosprzężonych oraz twierdzenie spektralne dla zwartych operatorów samosprzężonych.
4. Zna i rozumie pojęcie słabej oraz *-słabej zbieżności w przestrzeniach Banacha.
Kryteria oceniania
Ocena końcowa obliczona na podstawie punktów za ćwiczenia, punktów z kolokwium oraz egzaminu.
Literatura
1. J.B. Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag 1985.
2. R.E. Megginson, An introduction to Banach space theory, Springer 1998.
3. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
4. S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa 2009.
5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.
6. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 2012.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: