Optymalny transport: teoria i wybrane zastosowania 1000-1M26OTZ

Większa część wykładu podąża zgodnie ze skryptami Peyré, Cuturi ''Computational Optimal Transport'' oraz Ambrosio, Gigli ''A user's guide to optimal transport'' ograniczając się do przypadku przestrzeni euklidesowej.

Wykład

1. Sformułowanie zagadnienia optymalnego transportu według Monge'a i Kantorowicza.
2. Zasadnicze Twierdzenie Optymalnego Transportu.
3. Istnienie optymalnych odwzorowań.
4. Wprowadzenie metryk Wassersteina. Metryka W2.
5. Podstawowe własności przestrzeni miar w metryce W2.
6. Miary w metryce W2 jako przestrzeń geodezyjna.
7. Krzywe absolutnie ciągłe a równanie ciągłości.
8. Wzór Benamou-Brenier.

Ćwiczenia będą prowadzone częściowo warsztatowo, a ich kierunek będzie zależał od liczby zainteresowanych studentów.

Temat 1: Interpolant Stochastyczny jako krzywa w przestrzeni Wassersteina. Interpolanty stochastyczne to narzędzie w generatywnej sztucznej inteligencji. Celem jest przedstawienie na czym polega to zastosowanie oraz jakie naturalne pytania matematyczne się tu pojawiają. W szczególności przeanalizujemy związki z równaniem ciągłości i zobaczymy w jaki sposób argumentacja z pracy Albergo et. al. może być uproszczona stosując nowoczesną teorię optymalnego transportu. Temat oparty na źródle [4].

Temat 2: Potok gradientowy w przestrzeni metrycznej. Potoki gradientowe to proste dynamiki, które obserwujemy na co dzień. Celem jest abstrakcyjne spojrzenie na pojęcie potoku gradientowego w sytuacji gdy samo pojęcie gradientu traci klasyczny sens. Pokażemy jak przy użyciu optymalnego transportu można opisywać różnorodne zjawiska jako potoki gradientowe. Temat oparty na źródle [2].

Temat 3: Obliczeniowy Optymalny Transport. Praktyczny element wykładu związany z konkretnymi metodami obliczeniowymi o bezpośrednim zastosowaniu. Prawdopodobnie najciekawszy kierunek warsztatowy, ale bardziej wymagający od zainteresowanych studentów. Celem jest zreferowanie i zrozumienie obliczeniowej części źródła [1].