Geometryczna teoria miary i zagadnienia wariacyjne 1000-1M23TMW

Wykład jest naturalną kontynuacją kursu „Teoria miary”, którego materiał będzie punktem wyjścia do dalszych rozważań. Punktem dojścia ma być bieżący stan wiedzy na temat geometrycznych zagadnień wariacyjnych oraz znajomość głównych problemów otwartych w tej dziedzinie. W szczególności skupimy się na słabo do tej pory zrozumianym, a kluczowym, pojęciu eliptyczności.

Siłą rzeczy sporo materiału będzie opowiedziane poglądowo, bez prezentowania szczegółowych dowodów, choć zawsze z odniesieniem do konkretnych prac naukowych. Celem jest zaprezentowanie aktualnego stanu wiedzy na poziomie wystarczającym do podjęcia samodzielnych badań.

Wykład

1. Skrót wiadomości z algebry wieloliniowej [1, §1] (1 wykład)




1. Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych.


2. Algebra tensorowa i zewnętrzna.


3. Izomorfizm: Hom(A,B) ≃ A* ⊗ B.


4. Norma i iloczyn skalarny na potędze zewnętrznej.


5. Operacje iloczynu zewnętrznego i zwężania dla form wieloliniowych i wielowektorów.


6. Grassmannian zorientowany i niezorientowany.




2. Area i coarea [1, §3.2.1-12] (2 wykłady)




1. Aproksymatywny Jakobian.


2. Wzór area, czyli uogólnienie całkowania przez podstawienie.


3. Wzór coarea, tzw. całkowanie po włóknach.




3. Zbiory i miary prostowalne [1, §3.2.14-22] (2 wykłady)




1. Sformułowanie twierdzeń: Whitney'a o rozszerzaniu funkcji gładkich i Rademachera o różniczkowalności funkcji Lipschitzowskich.


2. Definicja i przykłady zbiorów prostowalnych i całkowicie nieprostowalnych.


3. Skrótowo o wzorach area i coarea dla przekształceń pomiędzy zbiorami prostowalnymi.


4. Zgodność miary Hausdorffa obciętej do rozmaitości z miarą powierzchniową na tej rozmaitości.


5. Kilka charakteryzacji zbiorów i miar prostowalnych bez dowodów, np. Preiss (1987) oraz Azzam i Tolsa (2015).


6. Miary prostowalne jako słabe granice ciągów rozmaitości gładkich.




4. Varifoldy [10] (4 wykłady)




1. Varifoldy ogólne, prostowalne i całkowite.


2. Norma bemolowa (flat), zbieżność i zwartość rodzin varifoldów (tw. Tichonowa).


3. Miary i varifoldy styczne.


4. Popchnięcie (push-forward) varifoldu funkcją Lipschitzowską.


5. Druga forma podstawowa i średnia krzywizna zanurzonych rozmaitości gładkich.


6. Pierwsza wariacja varifoldu względem anizotropowego funkcjonału i uogólniona średnia krzywizna.


7. Dowód monotoniczności ilorazów gęstości i kilka poglądowych uwag o konsekwencjach.


8. Słaba zasada maksimum na podstawie [8].




5. Eliptyczność (4 wykłady)




1. Definicje eliptyczności Almgrena (AE) [11] oraz warunku atomowego (AC) [4].


2. Zależność pojęcia eliptyczności od wyboru powierzchni testowych.


3. Poglądowo o konsekwencjach eliptyczności:
   
   
   
   • istnienie minimów w klasie prostowalnych varifoldów [12];
   
   
   • prostowalność punktów krytycznych [4];
   
   
   • częściowa regularność minimów [11].
   
   
   
   


4. Warunek BC oraz związki między AE i AC [6].


5. Geometryczna charakteryzacja AC.


6. Skalarny warunek atomowy (SAC) i regularność wykresów będących punktami krytycznymi [7].


7. Konstrukcje k-wymiarowych, translacyjnie niezmienniczych miar w Rⁿ i problem ich eliptyczności [5].

Ćwiczenia

1. Operacje na wielowektorach i formach wieloliniowych.


2. Różne charakteryzacje rozmaitości zanurzonych wykraczające poza materiał AM2 (zastosowania twierdzenia o rzędzie).


3. Grassmannian jako rozmaitość zanurzona.


4. Miara Hausdorffa w przestrzeni unormowanej wyrażona przez całkę z pewnej funkcji względem Euklidesowej miary Hausdorffa.


5. Przykład pokazujący, że miara Hausdorffa nie jest produktem niżej wymiarowych miar Hausdorffa.


6. Wyprowadzenie wzoru na anizotropowy perymetr zbioru.


7. Miara Holmesa-Thompsona.


8. Związek słabej topologii z topologią produktową.


9. Związek normy bemolowej (flat norm) ze słabą zbieżnością miar.


10. Obliczenie pochodnej Jakobianu oraz innych funkcji, których dziedziną jest zbiór przekształceń liniowych.