Geometria różniczkowa 1000-135GR
1. Abstrakcyjne rozmaitości gładkie (także z brzegiem), podrozmaitości. Przekształcenia gładkie i dyfeomorfizmy. Konstrukcje rozmaitości .
2. Pierścień funkcji gładkich. Gładki rozkład jedności.
3. Wektory styczne: interpretacje geometryczna, fizyczna i algebraiczna.. Pochodna przekształcenia gładkiego. Submersje, immersje i zanurzenia rozmaitości.
4. Wiązka styczna; pola wektorowe ich interpretacje (potoki, różniczkowania). Algebra Lie pól wektorowych.
5. Wiązki wektorowe i przeniesienie na nie operacji algebry liniowej. Przykłady struktur na wiązce stycznej (orientacja, zespolona, metryka Riemanna, symplektyczna)
6. Pola tensorowe. Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna, całkowanie form i twierdzenie Stokes. Kohomologie de Rhama.
7. Dystrybucje, foliacje i struktury kontaktowe na rozmaitościach. Twierdzenie Frobeniusa.
8. Różniczkowanie pól wektorowych. Koneksja afiniczna. Przeniesienie równoległe. Geodezyjne.
9. Rozmaitości riemannowskie i koneksja wyznaczona przez metrykę Riemanna.
10. Tensor krzywizny. Krzywizna sekcyjna i skalarna.
11. Rozmaitości geodezyjnie zupełne. Twierdzenie Hopfa - Rinowa.
12. Rozmaitości o stałej krzywiźnie (Space Form Problem).
13. Algebry i grupy Liego. Algebra pól lewo-niezmienniczych, podgrupy jednoparametrowe i odwzorowanie exp. Odpowiedniość miedzy grupami i algebrami. (informacyjnie)
Kierunek podstawowy MISMaP
matematyka
informatyka
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Student rozumie:
- pojęcie abstrakcyjnej rozmaitości, wektorów stycznych do niej i ich różne interpretacje, konstrukcję pochodnej odwzorowania gładkiego. Rolę algebry funkcji gładkich.
- różne interpretacje pół wektorowych i ich nawiasu Lie
- pojęcie wiązki wektorowej i przeniesienia na wiązki wektorowe konstrukcji znanych z algebry liniowej. Struktury na wiązkach (orientacja, metryka, symplektyczna etc.)
- dlaczego na rozmaitości całkuje się formy różniczkowe. Geometryczny sens tw. Stokesa.
- pojęcie pochodnej kowariantnej i przeniesienia równoległego (koneksji) jako dodatkowej struktury na rozmaitości
- jak metryka Riemanna wyznacza zgodną z nią konkeksję.
Student zna przykłady:
- abstrakcyjnych rozmaitości: przestrzeni rzutowych, powierzchni, rozmaitości konstruowanych jako przestrzenie orbit działań grup. Grupy Lie.
- rozmaitości stałej krzywizny; w szczególności geometrie hiperboliczne;
- przeniesienia równoległego i geodezyjnych na konkretnych rozmaitościach.
Student potrafi przedstawić argumenty geometryczne na rysunkach i sformułowac na piśmie rozumowania matematyczne.
Kryteria oceniania
Ocena końcowa na podstawie przedstawionego eseju i dwuczęściowego egzaminu pisemnego składającego się z testu oraz zadań.
Literatura
Aubin, T. A Course in Differential Geometry. AMS, Graduate Studies in Mathematics, vol. 27, 2001.
Baer, Ch. "Differential Geometry" https://www.math.uni-potsdam.de/fileadmin/user_upload/Prof-Geometrie/Dokumente/Lehre/Lehrmaterialien/skript-DiffGeo-engl.pdf
Białynicki-Birula, A. "Geometria różniczkowa II. " Skrypt wykładów. http://www.mimuw.edu.pl/~bbirula/matdyd/g_roz99_00/wyk1.pdf
Grabowska, K. "Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa" Wydział Fizyki UW, 2019. https://www.fuw.edu.pl/~konieczn/geometria/geometry_lecture_2_0.pdf
Kijowski, J. "Geometria różniczkowa jako narzędzie nauk przyrodniczych" CSZ Politechnika Warszawska. http://old.cft.edu.pl/~kijowski/Dydaktyczne/GEOMETR.pdf
Lee, J.M. "Manifolds and Differential Geometry." AMS Graduate Studies in Mathematics Volume: 107; 2009
Spivak,M. "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Volumes I-V", Publish or Perish, 1999.
Sternberg, S.. Lectures on Differential Geometry. Prentice–Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1964.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: