Optymalny transport w równaniach ewolucyjnych 1000-1M23OTE

Większa część wykładu podąża zgodnie ze skryptem L. Ambrosio, N. Gigli ''A user's guide to optimal transport'' ograniczając się do przypadku przestrzeni euklidesowej.

Część I: Zagadnienie optymalnego transportu.

1. Sformułowanie zagadnienia optymalnego transportu według Monge'a i Kantorowicza.
2. Warunki równoważne optymalności planu transportowego.
3. Istnienie optymalnych odwzorowań.

Część II: Metryki Wassesteina.

1. Wprowadzenie metryk Wassersteina. Metryka W2.
2. Podstawowe własności przestrzeni miar w metryce W2.
3. Miary w metryce W2 jako przestrzeń geodezyjna.
4. Krzywe absolutnie ciągłe a równanie ciągłości.
5. Słabo-Riemannowska struktura przestrzeni miar w metryce W2.

Część III: Potoki gradientowe na przestrzeniach metrycznych

1. Pojęcie potoku gradientowego na przestrzeni Hilberta oraz na przestrzeni metrycznej.
2. Trzy definicje potoku gradientowego i zależności między nimi.
3. Potoki gradientowe geodezyjnie wypukłych funkcjonałów.
4. Trzy klasyczne przykłady potoków gradientowych.

Dodatek:

1. Granica pola średniego dla równania Własowa. Granica w wariancie deterministycznym.

Rodzaj przedmiotu

monograficzne

Wymagania (lista przedmiotów)

Analiza funkcjonalna

Założenia (opisowo)

Uczestnik powinien znać podstawowe twierdzenia analizy funkcjonalnej. Zaawansowana znajomość teorii miary nie jest wymagana, ale nie jest niewskazana. Podstawy teorii miary związane z takimi wykładami jak Analiza Matematyczna oraz Rachunek Prawdopodobieństwa powinny w zupełności wystarczyć. Uczestnik może spodziewać się krótkich wycieczek w kierunku równań różniczkowych.

Koordynatorzy przedmiotu

Jan Peszek

Efekty kształcenia

Student zna i rozumie pojęcie potoku gradientowego i jego związek z transportem masy i z równaniem ciągłości. Student wie gdzie szukać rozszerzeń materiału z wykładu i posiada dostateczne zrozumienie tej tematyki, żeby kontynuować studia we własnym zakresie.

Kryteria oceniania

Dwa do wyboru z następujących: aktywność na ćwiczeniach, jedna dość rozbudowana praca domowa, egzamin ustny.

Literatura

Ambrosio, Gigli ''A user's guide to optimal transport'',
Ambrosio, Gigli, Savare ''Gradient flows: In metric spaces and in the space of probability measures'',
François Golse, ''Mean-Field Limits in Statistical Dynamics''.

Więcej informacji

Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:

Matematyka, stacjonarne, drugiego stopnia

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-1M23OTE w USOSweb