Metody wariacyjne w równaniach różniczkowych cząstkowych 1000-1M23MWR
1. Wstęp do przestrzeni Sobolewa. Przestrzeń H^1 i jej własności.
2. Słabe rozwiązanie zagadnienia Dirichleta. Funkcjonał energii.
3. Bezpośrednia metoda rachunku wariacyjnego.
4. Ciągi Palais-Smale’a i ich ograniczność (warunek Ambrosetti-Rabinowitza). Zasada Ekelanda.
5. Twierdzenie o górskiej przełęczy z zastosowaniami.
6. Metoda rozmaitości Nehariego w sytuacji gładkiej.
7. Homeomorfizm rozmaitości Nehariego ze sferą w przestrzeni Hilberta. Zastosowanie do równań z brakiem regularności rozmaitości Nehariego.
Rodzaj przedmiotu
Wymagania (lista przedmiotów)
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
1. Zna pojęcie przestrzeni Sobolewa H^1, słabej pochodnej i podstawowe ich własności, pojęcie wariacyjnego funkcjonału energii oraz słabych rozwiązań.
2. Zna i potrafi zastosować bezpośrednią metodę rachunku wariacyjnego.
3. Zna pojęcia ciągu Palais-Smale’a, zna i rozumie warunku gwarantujące jego ograniczoność (w szczególności – warunek Ambrosetti-Rabinowitza).
4. Zna i potrafi wykazać twierdzenie o górskiej przełęczy.
5. Stosuje twierdzenie o przełęczy górskiej do wykazania istnienia nietrywialnego rozwiązania.
6. Zna pojęcie rozmaitości Nehariego i jej podstawowe własności.
7. Potrafi zastosować technikę rozmaitości Nehariego do uzyskania istnienia rozwiązań o najmniejszej energii (rozwiązań w stanie podstawowym).
Kryteria oceniania
Egzamin pisemny.
Literatura
M. Willem: Minimax theorems, Birkhäuser 1997
M. Struwe: Variational methods, Springer-Verlag 2008
M. Badiale, E. Serra: Semilinear Elliptic Equations for Beginners, Springer-Verlag 2011
A. Szulkin, T. Weth: Ground state solutions for some indefinite variational problems, Journal of Functional Analysis, Volume 257, Issue 12 (2009)
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: