Ideały miary i kategorii 1000-1M23ITM

1. Prosta rzeczywista i pokrewne przestrzenie polskie, przestrzeń Cantora, przestrzeń Baire’a. Przypomnienie elementów deskryptywnej teorii mnogości: zbiory borelowskie i analityczne. Zbiory doskonałe, własność zbioru doskonałego dla klas podzbiorów przestrzeni polskich.

2. Ideały miary i kategorii jako ideały o bazie borelowskiej i własności c.c.c.. Algebry ilorazowe zbiorów borelowskich modulo ideał, tw. Sikorskiego. Zbiory o własności Baire’a jako “kategoryjny” odpowiednik zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama jako odpowiednik twierdzenia Fubiniego. Ortogonalność ideałów miary i kategorii. Dualność Erdősa-Sierpińskiego (przy założeniu CH) ideałów miary i kategorii, nieistnienie addytywnej funkcji Erdősa-Sierpińskiego.

3. Twierdzenia i konstrukcje dotyczące zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue’a lub bez własności Baire’a, np. Twierdzenie Czterech Polaków. Zbiory niemierzalne (Lebesgue’owsko/Baire’owsko) mające postać sumy algebraicznej zbiorów mierzalnych lub z ideału.

4. Współczynniki kardynalne ideałów miary i kategorii i nierówności między nimi (m.in. tw. Rothbergera), diagram Cichonia.

5. Zbiory uniwersalnie miary zero (UMZ), zawsze pierwszej kategorii (AFC) i uniwersalnie pierwszej kategorii (UFC) i ich własności Istnienie nieprzeliczalnych zbiorów o powyższych własnościach.

6. Zbiory silnie miary zero (SN/SMZ), definicja metryczna i charakteryzacja Galvina-Mycielskiego-Solovaya. Kategoryjne odpowiedniki: zbiory silnie pierwszej kategorii (SM/SFC) i bardzo pierwszej kategorii (VM/VFC); inkluzje pomiędzy tymi klasami, a odpowiednimi klasami zbiorów uniwersalnie miary zero i uniwersalnie pierwszej kategorii. Zbiory o własności Rothbergera i inne klasy małych zbiorów. Zbiór Łuzina i zbiór Sierpińskiego, ich przynależność do odpowiednich klas. Informacje o Hipotezie Borela i Dualnej Hipotezie Borela.