Teoria mnogości 1000-135TMN
Na wykładzie zostaną przedstawione następujące zagadnienia:
1. Tematy uzupełniające wykład ze Wstępu do Matematyki (dobre porządki, liczby porządkowe, indukcja pozaskończona, liczby kardynalne, aksjomaty teorii mnogości).
2. Elementy kombinatoryki nieskończonej, ze szczególnym uwzględnieniem tych pojęć i twierdzeń, które znajdują zastosowanie w innych działach matematyki (filtry i ideały, ultrafiltry, zasada zwartości, Delta-systemy, Delta-lemat i jego konsekwencje, zbiory stacjonarne, lemat Fodora, twierdzenia podziałowe typu Ramseya).
Do zrozumienia wykładu wystarczy znajomość podstaw teorii mnogości w zakresie ,,Wstępu do matematyki''.
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2025Z: | W cyklu 2026Z: |
Rodzaj przedmiotu
Efekty uczenia się
Student
1. zna lemat Kuratowskiego-Zorna. Potrafi go zastosowac do dowodzenia istnienia zbiorów o ciekawych własnosciach, w tym ultrafiltrów niegłównych;
2. zna pojecie dobrego porzadku i liczby porzadkowej w sensie von Neumanna. Zna działania na liczbach porzadkowych. Potrafi przeprowadzac dowody i konstrukcje przez indukcje pozaskonczona;
3. zna pojecie liczby kardynalnej, działania na liczbach kardynalnych i najwazniejsze twierdzenia arytmetyki kardynalnej, w tym twierdzenie Hessenberga i wzór Hausdorffa. Za pomoca działan na liczbach kardynalnych potrafi wyrazac moce rozmaitych zbiorów;
4. zna pojecie współczynnika współkoncowosci liczby kardynalnej oraz pojecie liczby kardynalnej regularnej i singularnej;
5. zna pojecia podzbioru domknietego i nieograniczonego oraz podzbioru (nie)stacjonarnego regularnej liczby kardynalnej. Potrafi wskazac przykłady takich zbiorów. Zna i potrafi stosowac lemat Fodora;
6. zna twierdzenia o istnieniu i wielkosci róznych rodzin zbiorów o ciekawych własnosciach kombinatorycznych, w tym rodzin zbiorów parami prawie rozłacznych, $Delta$-systemów i rodzin niezaleznych;
7. zna pojecie drzewa oraz podstawowe twierdzenia dotyczace problemu istnienia współkoncowych gałezi w drzewie, w tym twierdzenia K¨oniga i Aronszajna;
8. zna podstawowe twierdzenia podziałowe, w tym twierdzenia Ramseya, Erd"osa-Rado i Erd"osa-Dushnika-Millera;
9. zna aksjomaty teorii ZFC oraz niektóre dodatkowe aksjomaty teorii mnogosci, w tym CH i GCH.
Kryteria oceniania
,,Zasady zaliczania przedmiotu i organizacji wykładów w roku akademickim 2026/2027"
1. Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Trzy nieusprawiedliwione nieobecności mogą spowodować, zgodnie z Regulaminem Studiów, utratę prawa do zaliczania przedmiotu. Nieobecności należy usprawiedliwiać na bieżąco.
2. W ramach ćwiczeń będzie można zdobyć 60 punktów, z czego:
40 punktów będzie do zdobycia w ramach kolokwium,
20 punktów będzie do zdobycia za kartkówki na zajęciach, zadania domowe pisemne i ustne.
3. Przed początkiem ostatniego tygodnia zajęć na podstawie zdobytych punktów zostanie wystawiona ocena z ćwiczeń. Do egzaminu w pierwszym terminie zostaną dopuszczone osoby, które uzyskają z ćwiczeń pozytywną ocenę. Próg punktowy na pozytywną ocenę nie będzie wyższy niż 50%.
4. Egzaminy odbywające się w obu sesjach będą pisemne i będą się składać z części teoretycznej oraz zadań.
5. O egzamin w terminie zerowym mogą się ubiegać osoby, które uzyskają z ćwiczeń ocenę 5. Egzamin zerowy będzie wyłącznie ustny i będzie sprawdzał zarówno umiejętność rozwiązywania zadań, jak i znajomość teorii.
6. Warunkiem koniecznym zaliczenia przedmiotu jest uzyskanie pozytywnej oceny z egzaminu (patrz punkty 4 i 5). Ocena końcowa z przedmiotu jest średnią arytmetyczną oceny z ćwiczeń (patrz punkt 3) i oceny z egzaminu (w przypadku, gdy różnica pomiędzy tą średnią, a najbliższą oceną ze standardowej skali wynosi 0,25, średnią zaokrągla się w górę do tej właśnie oceny, np. 3 z ćwiczeń i 4,5 z egzaminu daje ocenę końcową 4).
Literatura
P. Zakrzewski, Teoria mnogości (skrypt wykładu), https://www.mimuw.edu.pl/~piotrzak/TM-skrypt.pdf.
A.Błaszczyk, S.Turek, Teoria mnogości, PWN 2007.
W.Just, M.Weese, Discovering modern set theory, I: The basics, II: Set-theoretic tools for every mathematician, Graduate Studies in Mathematics vol. 8 (1996), 18 (1997), American Mathematical Society.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami: