Macierze losowe 1000-1M14ML
Teoria macierzy losowych, wywodząca się z fizyki (prace Wignera z drugiej połowy lat 50-tych) znalazła w ciągu ostatniego półwiecza wiele związków, z pozornie tak odległymi działami matematyki jak statystyka matematyczna (analiza składowych głównych, oszczędne próbkowanie), teoria liczb (związki z hipotezą Riemanna), asymptotyczna kombinatoryka, wysokowymiarowa geometria wypukła i związane z nią zagadnienia algorytmiczne (konstrukcje obiektów o ekstremalnych własnościach kombinatorycznych lub geometrycznych). Obiektem badań tej teorii są macierze o losowych współczynnikach, których rozmiary dążą do nieskończoności.
W ramach wykładu przedstawione zostaną podstawowe modele macierzy losowych oraz ich własności spektralne i geometryczne. W szczególności omówiony zostanie dokładnie asymptotyczny rozkład wartości własnych i singularnych (twierdzenie Wignera i twierdzenie Marchenki-Pastura), silne prawa wielkich liczb dla największej wartości własnej. Omówione zostanie też lokalne zachowanie wartości własnych (tw. Gaudina-Mehty i Tracy-Widoma ze szkicami dowodów) oraz zbieżność miary spektralnej dla macierzy niehermitowskich (tzw. circular law)
Przedstawione zostaną również przykładowe zastosowania teorii macierzy losowych w statystyce (na przykładzie techniki oszczędnego próbkowania) oraz geometrii i algorytmice (na przykładzie lematu Johnsona-Lindenstraussa).
Rodzaj przedmiotu
Wymagania (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Student zna podstawowe klasyczne twierdzenia dot. teorii spektralnej macierzy losowych wraz z ich dowodami oraz potrafi sformułować przykładowe nowe wyniki związane z tą dziedziną matematyki.
Kryteria oceniania
Ocena wystawiona zostanie na podstawie aktywności na ćwiczeniach oraz serii zadań do rozwiązania w domu i omówienia w trakcie egzaminu ustnego
Literatura
1. M.L.Mehta, Random matrices, Third edition. Pure and Applied Mathematics (Amsterdam), 142. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.
2. G. Anderson, A. Guionnet, O. Zeitouni, An introduction to random matrices. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 118. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
3. Z. Bai, J. Silverstein, Spectral analysis of large dimensional random matrices. Second edition. Springer Series in Statistics. Springer, New York, 2010.
4. A. Guionnet, Large Random Matrices: Lectures on Macroscopic Asymptotics, École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XXXVI, Springer 2009
5. L. Pastur, M. Shcherbina, Eigenvalue distribution of large random matrices. Mathematical Surveys and Monographs, 171. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011
6. T. Tao, Topics in random matrix theory. Graduate Studies in Mathematics, 132. American Mathematical Society, Providence, RI, 2012.
7. J. B. Hough, M. Krishnapur, Y. Peres, B. Virag, Determinantal processes and independence. Probab. Surv. 3 (2006), 206–229.
8. J. B. Hough, M. Krishnapur, Y. Peres, B. Virag, Zeros of Gaussian analytic functions and determinantal point processes. University Lecture Series, 51. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: