Wstęp do analizy stochastycznej 1000-135WAS
1. Podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.
2. Elementy ogólnej teorii procesów w zakresie niezbędnym dla potrzeb wykładu.
3. Martyngały lokalne i semimartyngały. Wahanie kwadratowe martyngałów ciągłych i martyngałów lokalnych,
twierdzenie Dooba-Meyera.
4. Całka Stieltjesa i całka izometryczna Paleya-Wienera.
5. Całka stochastyczna Itô względem procesu Wienera. Uogólnienie: całka stochastyczna względem
semimartyngałów ciągłych.
6. Podstawowe własności całki stochastycznej: całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części.
7. Wzór Itô. Wahanie kwadratowe dla całki stochastycznej.
8. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa.
9. Mocne rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Istnienie i jednoznaczność mocnych rozwiązań
dla równań o współczynnikach lipschitzowskich. Związek z równaniami cząstkowymi. Równania
stochastyczne liniowe.
10. Słabe rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Konstrukcja słabego rozwiązania używajaca
twierdzenia Girsanowa.
Rodzaj przedmiotu
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
1. Zna podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.
2. Zna pojęcie martyngału lokalnego i jego wahania kwadratowego. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe dla procesu Wienera. Zna twierdzenie Dooba-Meyera.
3. Zna definicję całki Itô względem procesu Wienera i semimartyngałów ciągłych, jak również podstawowe ich własności. Zna wzór Itô i potrafi go zastosować. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe całki stochastycznej.
4. Zna twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności mocnych rozwiązań równań stochastycznych o lipschitzowskich współczynnikach i potrafi zastosować je do konkretnych zagadnień. Potrafi rozwiązywać równania różniczkowe liniowe.
5. Rozumie różnicę między słabymi a mocnymi rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych
Kryteria oceniania
Ocena końcowa wystawiana jest na podstawie łącznej sumy punktów uzyskanych na kolokwiach i egzaminie.
Literatura
1. I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag 1997.
2. D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer-Verlag 1999.
3. A.D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych. PWN 1980
4.P. Protter, Stochastic integration and differential equations., Springer-Verlag 1995.
5. R. Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, https://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/testy/proc/was.pdf
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: