Wstęp do analizy stochastycznej 1000-135WAS
1. Podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.
2. Elementy ogólnej teorii procesów w zakresie niezbędnym dla potrzeb wykładu.
3. Martyngały lokalne i semimartyngały. Wahanie kwadratowe martyngałów ciągłych i martyngałów lokalnych,
twierdzenie Dooba-Meyera.
4. Całka Stieltjesa i całka izometryczna Paleya-Wienera.
5. Całka stochastyczna Itô względem procesu Wienera. Uogólnienie: całka stochastyczna względem
semimartyngałów ciągłych.
6. Podstawowe własności całki stochastycznej: całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części.
7. Wzór Itô. Wahanie kwadratowe dla całki stochastycznej.
8. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa.
9. Mocne rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Istnienie i jednoznaczność mocnych rozwiązań
dla równań o współczynnikach lipschitzowskich. Związek z równaniami cząstkowymi. Równania
stochastyczne liniowe.
10. Słabe rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Konstrukcja słabego rozwiązania używajaca
twierdzenia Girsanowa.
Rodzaj przedmiotu
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2024Z: | W cyklu 2023Z: |
Efekty kształcenia
1. Zna podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.
2. Zna pojęcie martyngału lokalnego i jego wahania kwadratowego. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe dla procesu Wienera. Zna twierdzenie Dooba-Meyera.
3. Zna definicję całki Itô względem procesu Wienera i semimartyngałów ciągłych, jak również podstawowe ich własności. Zna wzór Itô i potrafi go zastosować. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe całki stochastycznej.
4. Zna twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności mocnych rozwiązań równań stochastycznych o lipschitzowskich współczynnikach i potrafi zastosować je do konkretnych zagadnień. Potrafi rozwiązywać równania różniczkowe liniowe.
5. Rozumie różnicę między słabymi a mocnymi rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych
Kryteria oceniania
Ocena końcowa wystawiana jest na podstawie łącznej sumy punktów uzyskanych na kolokwiach i egzaminie.
Literatura
1. I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag 1997.
2. D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer-Verlag 1999.
3. A.D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych. PWN 1980
4.P. Protter, Stochastic integration and differential equations., Springer-Verlag 1995.
5. R. Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, https://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/testy/proc/was.pdf
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: