Teoria aproksymacji 1000-135TAP
Istnienie i jednoznaczność elementów najlepszej aproksymacji, zbieżność i rząd zbieżności ciągów przybliżeń o zadanych własnościach, szacowania na błąd aproksymacji, podstawowe pojęcia, charakteryzacja elementów najlepszej aproksymacji przy pomocy przestrzeni dualnej. Przykłady: przestrzenie silnie, jednostajnie i ściśle wypukłe, aproksymacja w przestrzeniach Hilberta
Gęste podzbiory przestrzeni funkcyjnych: wielomiany algebraiczne, wielomiany trygonometryczne, splajny, itp. Twierdzenia Weierstrassa dla wielomianów.
Aproksymacja trygonometryczna: operatory Fouriera i Fejera i ich własności, tw. Łozińskiego - Harsziladze, tw. Korowkina. Interpolacja trygonometryczna.
Aproksymacja w przestrzeniach C(K): podprzestrzenie Haara, kryterium Kołmogorowa i tw. o alternansie, algorytmy Remeza.
Twierdzenia Jacksona i Bernsteina dla wielomianów trygonometrycznych i algebraicznych. Regularność i odległość od podprzestrzeni wielomianów określonego stopnia.
Twierdzenie o letargu.
Bazy Schaudera i bazy bezwarunkowe w przestrzeniach Banacha.
Aproksymacja nieliniowa: aproksymacja zachłanna.
Rodzaj przedmiotu
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Wiedza i umiejętności
Student
1. Wie czym zajmuje się teoria aproksymacji i jakie są podstawowe problemy stawiane w tej dziedzinie.
2. Zna twierdzenia dotyczące istnienia i jednoznaczności elementów najlepszej aproksymacji w różnych przestrzeniach Banacha.
3. Zna przykłady zbiorów liniowo gęstych w różnych przestrzeniach Banacha.
4. Zna podstawowe twierdzenia dotyczące aproksymacji w przestrzeniach funkcji ciągłych.
5. Operuje pojęciami i twierdzeniami z dziedzin aproksymacji trygonometrycznej i wielomianowej.
6. Zna twierdzenie o letargu i rozumie jego konsekwencje praktyczne i teoretyczne.
Kompetencje społeczne
Student
1. Rozumie znaczenie aproksymacji funkcji w informatyce, inżynierii oraz w pracy badawczej w naukach przyrodniczych.
Kryteria oceniania
Ocena na podstawie udziału w ćwiczeniach, rozwiązań zadań domowych, kolokwium i egzaminu pisemnego i/lub ustnego.
Literatura
E. W. Cheney, Introduction to Approximation Theory, AMS 2000.
O. Christensen, K. L. Christensen, Approximation Theory, Birkhauser 2004.
C. Heil, A Basis Theory Primer, Birkhauser 2011.
V. Temlyakov, Greedy Approximation, Cambridge 2011
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: