Geometria algebraiczna 1000-135GEA
Rozmaitości afiniczne nad ciałem algebraicznie domkniętym. Nullstellensatz, topologia Zariskiego, pierścień (oraz snop) funkcji regularnych, rozmaitości nieprzywiedlne, ciało funkcji wymiernych na rozmaitości. Odwzorowania rozmaitości afinicznych, podrozmaitości, produkt rozmaitości, (dodatkowo: równoważność
kategorii rozmaitości afinicznych i skończenie generowanych algebr bez elementów nilpotentnych, ponadto afiniczne rozmaitości toryczne). (3--4 wykłady)
Rozmaitości rzutowe. Przestrzeń rzutowa, wielomiany jednorodne, rozmaitości rzutowe i stoźki nad nimi.
Gradacja na pierścieniu wielomianów, algebry z gradacją, ideały jednorodne, pierścień współrzędnych jednorodnych rozmaitości rzutowej. Odwzorowania Segre i Veronese. Ponadto: pokrycie afiniczne przestrzeni rzutowej, snop funkcji regularnych - funkcje globalne na rozmaitości rzutowej są stałe. (2--3 wykłady)
Podstawowe własności rozmaitości algebraicznych. Wymiar rozmaitości nieprzywiedlnej jako długość maksymalnego ciągu ideałów pierwszych i jako wymiar przestępny ciała funkcji wymiernych. Przestrzeń styczna Zariskiego,gładkość rozmaitości, kryterium jakobianowe (ponadto różniczkowania i formy
różniczkowe). Całkowite domknięcie pierścienia, normalizacja, gładkość krzywych normalnych. Ponadto: rozdmuchanie w punkcie, biwymierne przekształcenia rozmaitości. (5--6 wykładów)
Przykłady badania własności geometrycznych (i własności arytmetycznych) rozmaitości algebraicznych. Krzywe algebraiczne. Linie na powierzchniach stopnia 2 i 3 w P^3. (2--4 wykłady)
Rodzaj przedmiotu
Wymagania (lista przedmiotów)
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024L: |
Efekty kształcenia
Absolwent przedmiotu powinien:
• umieć sformułować pojęcia wchodzące do programu oraz wyjaśnić je na podstawie przykładów;
• znać podstawowe twierdzenia wchodzące do programu oraz podać wybrane dowody;
Kryteria oceniania
Przedmiot będzie zaliczany na podstawie wyników z ćwiczeń oraz egzaminu końcowego. Szczegółowe zasady zaliczenia przedmiotu są podane w informacjach dotyczących zajęć w odpowiednim roku akademickim.
Literatura
D. Eisenbud, J. Harris, The geometry of schemes, Graduate Texts in Mathematics 197, Springer-Verlag, 2000.
R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer-Verlag, 1977.
K. Hulek, Elementary algebraic geometry, Student Mathematical Library 20, American Mathematical Society, 2003.
D. Mumford, Algebraic geometry I: Complex projective varieties, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, 1995.
M. Reid, Undergraduate algebraic geometry, London Mathematical Society Student Texts 12, Cambridge University Press, 1988.
I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, 2, 2nd ed., Springer-Verlag, 1994.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: