Metody algebraiczne geometrii i topologii 1000-135MGT
- https://www.mimuw.edu.pl/~jjelisiejew/uw/202425-MAGiT/index.html (w cyklu 2024Z)
1. Podstawowe pojecia teorii kategorii: kategoria, funktor, transformacje naturalne, funktory dołaczone,lemat Yonedy, granice proste i odwrotne diagramów. Kategorie addytywne i abelowe. Przykłady z teorii grup i topologii. Grupoidy. Presnopy i zbiory symplicjalne jako przykłady funktorów.
2. Kategoria modułów nad pierscieniem jako przykład kategorii abelowej. Pierscien grupowy. Iloczyn tensorowy modułów (takze w przypadku nieprzemiennym). Moduły wolne, projektywne i injektywne, rezolwenty. Uogólnienie na kategorie abelowe.
3. Grupy z gradacja, filtracja i rózniczka. Kompleksy łancuchowe i ich homologie. Homotopia łancuchowa. Funktory pochodne funktorów okreslonych na kategorii abelowej.
4. Funktory pochodne Hom i iloczynu tensorowego oraz granicy odwrotnej. Interpretacja w terminach rozszerzen. Twierdzenie o współczynnikach uniwersalnych i tw. Kunnetha.
5. Kompleksy symplicjalne i ich homologie. Nerw pokrycia. Kohomologie Cecha pokrycia. Presnopy miekkie i rozkład jednosci wpisany w pokrycie. Kohomologie Cecha przestrzeni topologicznej.
6. Presnopy i snopy. Przestrzen snopa. Obraz prosty i odwrotny snopa. Kohomologie snopa jako funktor pochodny funktora przekrojów globalnych. Porównanie z kohomolgiami Cecha.
7. Wiazki lokalnie trywialne, wektorowe, główne i przestrzenie nakrywajace. Projektywnosc modułu przekrojów wiazki wektorowej. Grupa podstawowa. Klasykacja wiazek w terminach kohomologicznych (kocykle). Pierwsza klasa Stiefela-Whitney (odp. klasa Cherna) wiazek liniowych rzeczywistych (odp. zespolonych).
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2024Z: | W cyklu 2023Z: |
Efekty kształcenia
Absolwent przedmiotu powinien:
• umieć sformułować pojęcia i twierdzenia wchodzące do programu oraz wyjaśnić je na podstawie przykładów i podać wybrane dowody;
• dostrzegać kategoryjną naturę obiektów matematycznych, z którymi zapoznaje się na innych przedmiotach;
• zilustrować związki teorii snopów oraz wiązek głównych z zagadnieniami omawianymi w ramach innych przedmiotów.
Kryteria oceniania
Przedmiot będzie zaliczany na podstawie wyników z ćwiczeń oraz egzaminu końcowego. Szczegółowe zasady zaliczenia przedmiotu są podane w informacjach dotyczących zajęć w odpowiednim roku akademickim.
Literatura
1. Bredon, G. Sheaf Theory. GTM 170. Springer.
2. Bredon, G. Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer Verlag, New York
1993.
3. Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002.
4. Fulton, W. Algebraic Topology. A First Course. GTM 153. Springer
5. Gelfand, S.I., Manin, Yu.I. Methods of Homological Algebra. Springer Monographs in Mathematics
2002
6. Husemoller, D. Fibre bundles. Third Edition. GTM 20. Springer.
7. S. Mac Lane, Homology Grundlehren 114, Springer 1963
8. Spanier, E. Algebraic Topology McGraw-Hill
9. Weibel, Ch Homological Algebra
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: