Nierozstrzygalność i forcing iterowany 1000-1M18NFI
Wykład jest kontynuacją przedmiotu ``Metoda forcingu" (1000-1M09MEF). Celem wykładu jest wprowadzenie studentów i doktorantów w bardziej zaawansowane dowody niesprzeczności i niezależności rozwiązań naturalnych problemów pojawiających się w matematycznej praktyce, które wymagają bardziej złożonych metod kombinatorycznych lub forcingowych, w szczególności forcingu iterowanego.
Początkowe umiejętności będą rozwijane na prostych klasycznych przykładach nierozstrzygalności własności miary Lebesgue'a, kategorii Baire'a na prostej i algebr Boole'a. Złożoność przykładów z topologii i analizy funkcjonalnej będzie dostosowana do przygotowania uczestnikówow z tych przedmiotów i ich zainteresowań. Przykładowe tematy to:
1) Metody związane z modelami Cohena i modelami uzyskanymi przez dodanie liczb losowych: własności miary i kategorii, problem Ulama o prostokątach, wersje twierdzenia Fubiniego, problem istnienia uniwersalnych przestrzeni zwartych różnych klas oraz uniwersalnych p. Banacha. Własności narostów Cecha-Stone'a w modelu Cohena.
2) Iteracje ze skończonymi nośnikami i iteracje z przeliczalnymi nośnikami: dodawanie funkcji dominujących, forcing Sacksa, Prikrego-Silvera, Mathiasa; Axiomat A; specjalne typy ultrafiltrów, niezmienniki kardynalne, Axiomat Otwartego kolorowania (OCA), hipoteza Borela, przestrzenie Banacha z własnością Grothendiecka, przestrzenie zwarte Efimova.
3) Dodawanie struktur generycznych: konstrukcje ze skończonymi i przeliczalnymi aproksymacjami: forcing historyczny, duże przestrzenie Lindelofa z punktami o przeliczalnym pesudocharakterze, duże struktury z małą ilością endomorfizmów, kolorowania anty-ramsey'owskie i luki generyczne
4) Forcing i duże liczby kardynalne: kolaps Levy'ego, iteracje długości nieosiągalnej: zastosowania w drzewach i kombinatoryce nieskończonej.
5) Forcingi właściwe (proper).
6) Użyteczne zasady kombinatoryczne: zasada karo Jensena, OCA i Aksjomat Forcingu Właściwego: niesprzeczne konstrukcje C*-algebr, luki w P(N)/Fin.
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
1. Rozumie dowody niesprzeczności z wykorzystaniem modeli uzyskanych przy pomocy forcingu iterowanego.
2. Potrafi rozstrzygnąć czy zadane fakty dotycząace miary Lebesgue'a, kategorii Baire'a lub niezmienników kardynalnych są prawdziwe lub fałszywe w modelach Cohena, modelach uzyskanych przez dodanie liczb losowych, modelu Sacksa itd.
3. Potrafi konstruować przy pomocy forcingu iterowanego (ze skończonymi lub przeliczalnymi nośnikami, włączywszy iteracje o długościach równych dużym liczbom kardynalnym) modele ZFC w których prawdziwe lub fałszywe są zadane zdania dotyczące kombinatoryki nieskończonej i związane z nimi fakty topologiczne lub analityczne.
4. Potrafi stosować Aksjomat Forcingu Właściwego i zasadę karo Jensena.
5. Potrafi wymyślić pojecie forcingu, które doda strukturę generyczną (algebrę Boole'a, przestrzeń Banacha, przestrzeń topologiczną) o zadanych własnościach.
Kryteria oceniania
Kartkówki, listy ćwiczeń, końcowy egzamin pisemny.
Literatura
U. Abraham, Proper forcing. Handbook of set theory. Vols. 1, 2, 3, 333--394, Springer, Dordrecht, 2010.
T. Bartoszyński, H. Judah, Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995.
J. Baumgartner, Iterated forcing. Surveys in set theory, 1--59, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983.
J. Baumgartner, Applications of the proper forcing axiom. Handbook of set-theoretic topology, 913--959, North-Holland, Amsterdam, 1984.
M. Goldstern, Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991), 305--360, Israel Math. Conf. Proc., 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993.
T. Jech, Set theory. The third millennium edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: