Metody numeryczne 1000-215bMNU
- https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=1904 (w cyklu 2023Z)
1. Rozwiązywanie równań nieliniowych:
• Metoda Newtona
• Podstawowe pojęcia w numerycznym rozwiązywaniu równań (funkcja iteracyjna, kula zbieżności, wykładnik zbieżności, graniczna dokładność)
• Metoda siecznych
• Metoda Newtona dla układu równań
• Modyfikacje
• Kryteria stopu
2. Arytmetyka zmiennopozycyjna:
• Reprezentacja zmiennopozycyjna liczb
• Arytmetyka i błędy zaokrągleń
• Arytmetyka zmiennopozycyjna zespolona
3. Błędy w obliczeniach:
• Numeryczne uwarunkowanie zadania
• Błędy reprezentacji wektorów
• Numeryczna poprawność i stabilność algorytmu
4. Rozwiązywanie układów równań liniowych:
• Uwarunkowanie układu równań liniowych
• Metody bezpośrednie: metoda eliminacji Gaussa, metoda odbić Householdera, metoda Choleskiego, układy i algorytmy blokowe, szacowanie błędu i iteracyjne
poprawianie rozwiązania
• Metody iteracyjne: metody iteracji prostej, metoda sprzężonych gradientów, poprawianie uwarunkowania
5. Liniowe zadania najmniejszych kwadratów:
• Regularne LZNK
• Dualne LZNK
• Nieregularne LZNK
6. Algebraiczne zagadnienie własne:
• Sformułowanie problemu
• Metoda potęgowa
• Odwrotna metoda potęgowa
• Sprowadzanie macierzy symetrycznej do postaci trójdiagonalnej
• Algorytm QR
7. Interpolacja wielomianowa:
• Sformułowanie zadań interpolacji Lagrange’a i Hermite’a
• Bazy Newtona
• Różnice dzielone i ich własności
• Algorytm różnic dzielonych
• Reszta interpolacyjna
8. Interpolacja funkcjami sklejanymi
• Motywacja dla stosowania funkcji sklejanych
• Obcięte funkcje potęgowe
• Reprezentacja Hermite’a funkcji sklejanych trzeciego stopnia
• Kubiczne interpolacyjne funkcje sklejane klasy C2
• Twierdzenie Holladaya
• Funkcje B-sklejane
• Kubiczne funkcje interpolacyjne w reprezentacji B-sklejanej
• Twierdzenie Schoenberga-Whitney
9. Interpolacja trygonometryczna:
• Trygonometryczne zadanie interpolacji Lagrange’a
• Dyskretna transformata Fouriera
• Algorytm FFT
10. Aproksymacja funkcji:
• Aproksymacja jednostajna: wielomiany i węzły Czebyszewa, _alternans i algorytm Remeza, aproksymacja jednostajna przez funkcje sklejane
• Aproksymacja średniokwadratowa: wielomiany ortogonalne
11. Numeryczne obliczanie całek:
• Kwadratury interpolacyjne
• Zamiana zmiennych
• Kwadratury Gaussa
• Kwadratury złożone
• Ekstrapolacja Richardsona i metoda Romberga
• Uwagi o całkowaniu funkcji wielu zmiennych
12. Wybrane środowiska i biblioteki dla obliczeń numerycznych
Rodzaj przedmiotu
Wymagania (lista przedmiotów)
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Wiedza:
* Student zna w stopniu zaawansowanym podstawową wiedzę na temat architektury współczesnych systemów (logika układów cyfrowych i reprezentacja danych, architektura procesora, wejście-wyjście, pamięć, architektury wieloprocesorowe) (K_W06). W kontekście przedmiotu w szczególności:
+ Zna podstawowe możliwości i ograniczenia obliczeń numerycznych.
+ Zna i umie stosować algorytmy rozwiązywania typowych zadań numerycznych.
+ Zna pojęcia numerycznego uwarunkowania zadania oraz numerycznej poprawności i stabilności algorytmu.
+ Wie, na co zwracać uwagę podczas dobierania algorytmu do rozwiązania konkretnego zadania.
+ Zna wybrane biblioteki procedur numerycznych i środowiska do przeprowadzania obliczeń numerycznych dla typowych zadań.
Umiejętności:
* Umie zastosować wiedzę matematyczną do formułowania, analizowania i rozwiązywania związanych z informatyką zadań o średnim poziomie złożoności (K_U01).
* Umie pozyskiwać informacje z literatury, baz wiedzy, Internetu oraz innych wiarygodnych źródeł, integrować je, dokonywać ich interpretacji oraz wyciągać wnioski i formułować opinie (K_U02).
* Umie posługiwać się przyjętymi formatami reprezentacji różnego rodzaju danych stosownie do sytuacji (liczby, tablice, tekst) pamiętając o ich ograniczeniach, np. związanych z arytmetyką komputera (K_U08).
* Umie samodzielnie planować i realizować własne uczenie się przez całe życie (K_U09).
Kompetencje społeczne:
* Student jest gotów do pracy z zachowaniem uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; przestrzegania zasad etyki zawodowej i wymagania tego od innych oraz dbałości o dorobek i tradycje zawodu informatyka (K_K02).
* Student jest gotów do uznawania znaczenia wiedzy w rozwiązywaniu problemów poznawczych i praktycznych oraz wyszukiwania informacji w literaturze oraz zasięgania opinii ekspertów (K_K03).
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń na podstawie prac domowych, aktywności na zajęciach i projektów komputerowych.
Egzamin pisemny i w wyjątkowych przypadkach ustny.
Literatura
1. D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006.
2. P. Krzyżanowski, Obliczenia inżynierskie i naukowe, PWN, Warszawa 2011
3. J. Jankowska, M. Jankowski, M. Dryja, Przegląd metod i algorytmów numerycznych cz. 1 i 2, WNT Warszawa 1988,
4. G. Dahlquist, A. Bjorck Metody numeryczne, PWN Warszawa 1983
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: