Fizyka matematyczna, teoria ergodyczna i topologia układów nieokresowych 1000-1M24FTT

Wykład poświęcony będzie badaniu matematycznych modeli układów oddziaływujących cząstek umieszczonych w węzłach regularnych sieci. Jako przykład ilustrujący istnienie magnesów przedstawiony zostanie model Isinga oddziałujących spinów. Udowodnimy spontaniczne złamanie symetrii - istnienie przejścia fazowego.

Przedyskutujemy 18. problem Hilberta i jego związki z kwazikryształami - mikroskopowymi modelami oddziałujących cząstek, dla których minimum funkcjonału energii osiągane jest tylko dla nieokresowych konfiguracji. Przedstawione zostaną nieokresowe parkietaże płaszczyzny i ich związki z teorią ergodyczną symbolicznych układów dynamicznych. Zajmiemy się też układami jednowymiarowymi - ciągami Thue-Morse'a i Fibonacciego i ogólnie układami Sturma.

Przedstawione zostaną topologiczne aspekty układów nieokresowych i ich związki z kwantową informacją.

Zaprezentowane zostaną fundamentalne otwarte problemy: istnienie nieokresowych miar Gibbsa i istnienie jednowymiarowych nieergodycznych automatów komórkowych.

Nie zakładamy znajomości fizyki ani matematyki wykraczającej poza wykłady kursowe z dwóch pierwszych lat studiów.

Plan wykładów

1. Dlaczego istnieją magnesy? Model Isinga odziałujących spinów

2. Spontaniczne złamanie symetrii w ferromagnetycznym modelu Isinga

3. Zasady wariacyjne - minimalizacja funkcjonału energii swobodnej

4. Ścisłe rozwiązanie jedno-wymiarowego modelu Isinga

5. Przybliżenie pola średniego w dwu-wymiarowym modelu Isinga

6. Uogólnienie modelu Isinga - klasyczne gazy sieciowe

7. Nieokresowe parkietaże - 18 problem Hilberta

8. Mikroskopowe modele kwazikryształów - układy z nieokresowymi stanami okresowymi

9. Nieokresowe miary Gibbsa

10. Symboliczne układy dynamiczne - ciągi Thue-Morse'a i Fibonacciego

11. Teoria ergodyczna układów nieokresowych

12. Topologia układów nieokresowych

13. Jednowymiarowe układy oddziałujących cząstek bez okresowych stanów podstawowych

14. Automaty komórkowe