Harmoniki sferyczne 1000-1M23HS

Wykład poświęcony będzie analizie harmonicznej na wielowymiarowych sferach.
W szczególności obiektem zainteresowania będą pojęcia niezmiennicze ze względu na
działanie grup ortogonalnych SO(n) działających na sferach S^{n-1}, grup unitarnych SU(n) działających na
sferach S^{2n-1} oraz grup symplektycznych zwartych Sp(n) działających na sferach S^{4n-1}.
Opiszemy rozkłady spektralne na podprzestrzenie niezmiennicze względem działania tych grup - związane
z nimi przestrzenie harmonik sferycznych: rzeczywistych, zespolonych oraz kwaternionowych.
Przedstawiony zostanie związek tych przestrzeni z funkcjami holomorficznymi oraz
kwaternionowymi funkcjami regularnymi. Będzie to zarazem opis nieprzywiedlnych reprezentacji
liniowych powyższych zwartych grup Liego. Przy okazji będzie to jedyna w swoim rodzaju okazja poznania
elementów analizy kwaternionowej - teorii z pewnym sukcesem naśladującej analizę zespoloną.
W ramach wykładu pokażemy między innymi konstrukcję niestałej holomorficznej
funkcji wewnętrznej w algebrze kulowej A(B^2n) i konstrukcje singularnej miary pluriharmonicznej.
Pokażemy również pewne rezultaty idące w drugą stroną - mówiące o tym że miary pluriharmoniczne nie mogą być
zbyt singularne oraz warunki niezmiennicze na rozkład miary w szereg harmonik sferycznych
gwarantujące absolutną ciągłość miary. Pokażemy pewne twierdzenia mnożnikowe typu Marcinkiewicza.
Wykład jest pomyślany w ten sposób by był dostępny dla każdego kto ukończył kurs funkcji analitycznych.
Większość wyników zaprezentowanych na wykładzie ma nie więcej niż 40 lat, a duża ich część pochodzi
z ostatnich 5 lat.