Teoriomiarowe aspekty rachunku wariacyjnego 1000-1M21TRW
Grupa zagadnień optymalizacyjnych takich jak transport optymalny, czy swobodne projektowanie materiałów wykorzystuje narzędzia teorii miary wspomagane analizą wypukłą. Chcemy przedstawić staranny wstęp do takich metod i zagadnień jednocześnie dojść do współczesnych zagadnień badawczych.
Zajmiemy się podstawowym problemem rachunku wariacyjnego, w kontekście miar, jakim jest badanie istnienia punktów minimalnych. Wymaga to zbadania dolnej półciągłości funkcjonałów. W tym celu przedstawimy twierdzenie Reszetniaka i twierdzenie o plasterkowaniu miar, które jest ciekawe z ogólnego
punktu widzenia.
Wielce przydatne okazują się tutaj metody analizy wypukłej oparte na transformacji Legendre'a-Fenchla. Zobaczymy przykład ich zastosowania do zagadnienia na zbiorach o wymiarze niższym niż otaczająca przestrzeń euklidesowa.
Ważnym pojęciem analizy wypukłej jest `zagadnienia dualne', [ET]. Bywa, że jest ono prostsze niż zagadnienie pierwotne. Pozwala też na konstrukcje rozwiązań zagadnienia pierwotnego, [S]. Przykładem jest zagadnienie Monge'a optymalnego transportu miary. Oprócz tego, rozważanie zagadnień dualnych jest jednym ze sposobów znajdowania relaksacji funkcjonałów, [ET], czyli ich obwiedni dolnie półciągłych.
Planujemy przedstawienie fragmentu teorii Gamma-zbieżności funkcjonałów, który pozwoli na zbadać zbieżność potoków gradientowych.
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
1) Słuchacz zna i rozumie podstawowe zagadnienia rachunku wariacyjnego, zna i rozumie elementy analizy wypukłej;
2) Słuchacz zna i rozumie podstawowe zagadnienia minimalizacyjne na przestrzeni miar Radona.
3) Słuchacz zna i rozumie zagadnienia dualnego w analizie wypukłej.
Literatura
[AFP] Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.
[BBS] G.Bouchitte, G.Buttazzo, P.Seppecher, Energies with respect to a measure and applications to low-dimensional structures, Calc. Var. Partial Differential Equations, 5 (1997), no. 1, 37--54.
[ET] Ekeland, Ivar; Témam, Roger Convex analysis and variational problems. Translated from the French. Corrected reprint of the 1976 English edition. Classics in Applied Mathematics, 28. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1999
[S] Santambrogio, Filippo Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 87. Birkhäuser/Springer, Cham, 2015.
inna podana wykładzie
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: