Zaawansowany kurs równań różniczkowych cząstkowych 1000-1M18ZRR
Gładkość słabych rozwiązań równań eliptycznych. Rozmaite zastosowania metody różnic skończonych. (2 wykłady)
Nierówność Gardinga. Istnienie rozwiązań równań eliptycznych z wyrazami niższego rzędu (metodą zwartości). (1 wykład)
Teoria Fredholma w przestrzeniach Hilberta. Operatory zwarte i alternatywa Fredholma. Wartości własne i wektory własne i elementy teorii spektralnej. Zastosowania do operatorów eliptycznych ze szczególnym uwzględnieniem zagadnienia własnego dla operatora Laplace'a. (3 wykłady)
Metody wariacyjne. Półciągłość z dołu funkcjonałów na przestrzeniach Banacha. Słabe rozwiązania (niekoniecznie liniowych) równań eliptycznych jako minima funkcjonałów. Przykładowe zastosowania: p-laplasjan. Twierdzenie o przełęczy górskiej. Przykłady niejednoznaczności rozwiązań nieliniowych równań eliptycznych. (4 wykłady)
Półgrupy mocno ciągłe, twierdzenie Hille'a-Yosidy. Zastosowania do równań hiperbolicznych i parabolicznych. Teoria potoków gradientowych. (3 wykłady)
Elementy teorii oszacowań schauderowskich. Twierdzenia o punkcie stałym: twierdzenie Schaudera, twierdzenie Leraya-Schaudera. Metoda operatorów monotonicznych. Zastosowania. (2 wykłady)
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024Z: |
Efekty kształcenia
Student:
- zna twierdzenia o punkcie stałym (twierdzenie Banacha, Schaudera, Leraya-Schaudera) i potrafi je stosować w dowodach istnienia rozwiązań równań różniczkowych
- zna alternatywą Fredholma
- zna definicję półgrupy i generatora infinitezymalnego
- potrafi wskazać zastosowania tw. Hille-Yoshidy w równaniach różniczkowych
- posługuje się nierównościami Sobolewa i Holdera w dowodzeniu oszacowań energetycznych
- potrafi sformułować słabą postać równania różniczkowego
- potrafi posługiwać się metodą Galerkina
- umie stosować metodę zwartości
- potrafi wyprowadzić równania Eulera-Lagrange'a dla zadanego funkcjonału i zbadać istnienie słabych rozwiązań
- zna warunki istnienia funkcji minimizujących funkcjonał
- umie podać charakteryzację wariacyjną dla minimum funkcjonału
- zna metodę monotoniczności
Literatura
L.C.Evans, Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002
D.Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order. Springer-Verlag, Berlin 1983
J.L. Lions, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Edit. Dunod, Paryż 1969
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: