Elementy teorii kategorii 1000-1M07ET

Od swojego powstania w 1945 roku teoria kategorii znalazła zastosowanie w wielu, niekiedy bardzo odległych działach matematyki, od topologii i geometrii algebraicznej aż po logikę i semantykę języków programowania.

Podczas wykładu omówię pojęcia i twierdzenia stanowiące podstawę teorii kategorii: kategorie, funktory, transformacje naturalne, równoważność kategorii, funktory reprezentowalne, lemat Yonedy, granice, kogranice, zachowywanie granic i pokrewne pojęcia, własności granic w ogóle i w konkretnych kategoriach, sprzężenia funktorów, twierdzenia Freyda o istnieniu funktorów sprzężonych, własności funktorów sprzężonych, kategorie kartezjańsko domknięte, kategorie presnopów, monady, algebry Eilenberga-Moore'a, algebry Kleisliego, twierdzenie Becka. Wykład będzie w miarę możliwości ilustrowany przykładami z algebry, topologii i logiki, toteż pewne ogólne obycie z materiałem z zakresu pierwszych dwóch lat studiów matematycznych będzie przydatne, choć nie niezbędne, dla zrozumienia treści wykładów.

Końcowe wykłady chciałbym przeznaczyć na omówienie toposów Grothendiecka z różnych punktów widzenia: jako uogólnionych przestrzeni topologicznych, uniwersów 'zbiorów' oraz teorii geometrycznych.

Szczegółowy przebieg wykładu (zwłaszcza w ostatniej jego części) będzie nieco zależeć od zainteresowań uczestników i zostanie ustalony na początku zajęć.