Metody obliczeniowe w finansach 1000-135MOF
1. Numeryczne metody wyceny instrumentów fiansowych. Drzewa dwumianowe, metody Monte Carlo, numeryczne rozwiązania równania Blacka-Scholesa.
2. Wprowadzenie do metod Monte Carlo. Generowanie liczb pseudo-losowych. Ciągi o małej dyskrepancji (Haltona, Sobola) i metoda Quasi Monte Carlo. Generatory o rozkładzie jednostajnym. Generatory innych rozkładów, metody znajdowania innych rozkładów z rozkładu jednostajnego: metoda odwracania dystrybuanty, metoda akceptacji-odrzucenia, metoda przekształceń.
3. Rozwiązanie stochastycznych równań Ito metodą dyskretyzacji: schematy Eulera i Milsteina. Słaba i silna zbieżność rozwiązań. Rząd zbieżności. Dowody zbieżności dla schematu Eulera. Informacje o zbieżności schematu Milsteina.
4. Metody redukcji wariancji: zmienne antytetyczne, zmienne kontrolne, losowanie istotne. Przykład: obliczanie VaR portfela inwestycyjnego.
5. Przykłady wykorzystania metody Monte Carlo: opcje azjatyckie, opcje barierowe – metoda mostu Browna, wyznaczanie współczynników wrażliwości (greckich parametrów).
6. Równanie różniczkowe Blacka-Scholesa i jego matematyczna analiza. Definicja liniowego operatora eliptycznego i parabolicznego. Zasada maksimum. Pierwszy, drugi i trzeci problem brzegowy dla równań parabolicznych. Dowód istnienia i jednoznaczności rozwiązania dla pierwszego problemu brzegowego. Istnienie rozwiązań nieujemnych. Zasada porównawcza.
7. Metoda różnic skończonych dla liniowych równań parabolicznych. Schematy jawny, niejawny i Crank-Nicolson. Stabilność schematu – warunek CFL. Dowody aproksymacji i zbieżności schematów. Rząd zbieżności. Problemy generowane przez występowanie pierwszych pochodnych: oscylacje rozwiązania, schematy „upwind”. Rozwiązywanie równania Blacka-Scholesa w naturalnych zmiennych.
8. Przykłady wyceny przez rozwiązanie równania Black-Scholesa: opcje waniliowe -- uniwersalny schemat, opcje barierowe – problem warunków brzegowych, opcja azjatyckie i opcje lookback. Schematy w dwóch zmiennych przestrzennych -- redukcja wymiaru dla opcji azjatyckich i lookback.
9. Informacja o innych metodach. Opcje amerykańskie: zagadnienie ze swobodną powierzchnią i metoda kary. Metoda elementu skończonego.
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024L: |
Efekty kształcenia
Wiedza i umiejętności:
1. Potrafi wykorzystać metody Monte Carlo do obliczania cen instrumentów finansowych, umie generować próby dla wielu ważnych rozkładów (dyskretny, jednostajny, normalny, t-Studenta), zna metody tworzenia próby o zadanym rozkładzie z próby o rozkładzie jednostajnym, umie generować ciągi o małej dyskrepancji;
2. Umie rozwiązać numerycznie proste równania stochastyczne wykorzystując schematy Eulera lub Milsteina, zna rząd zbieżności tych schematów i rozumie jak znajomość rzędu zbieżności wpływa na zachowanie rozwiązań przybliżonych;
3. Zna podstawowe metody redukcji wariancji i umie je praktycznie wykorzystać, portafi wprowadzić zmienne antytetyczne do algorytmu Monte Carlo, umie obliczyć VaR metodą symulacji Monte Carlo, umie obliczyć ceny opcji waniliowych oraz wielu opcji egzotycznych (a także ich współczynniki wrażliwości) metodą Monte Carlo;
4. Rozumie matematyczne własności rozwiązań równań parabolicznych, wie jak wygląda poprawnie postawione zagadnienie początkowo-brzegowe dla tych równań, zna twierdzenia o istnieniu rozwiązań tych równań, umie napisać podstwowe schematy różnic skończonych służące rozwiązywaniu równań parabolicznych, zna warunki zbieżności tych schematów i umie te warunki wykorzystać w praktyce, potrafi obliczyć ceny wielu (także egzotycznych) instrumentów finansowych wykorzystując metodę różnic skończonych;
5. Zna związek wyceny opcji amerykańskich z zagadnieniem ze swobodną powierzchnią, umie rozwiązać proste przypadki takiego zagadnienia.
Kompetencje społeczne:
1. Rozumie znaczenie metod numerycznych w praktyce rynków finansowych;
2. Rozumie znaczenie wiedzy z analizy numerycznej w rozwiązywaniu realnych problemów.
Literatura
1. Y. Achdou, O. Pironneau. Computational Methods for Option Pricing, SIAM 2005.
2. S. Asmussen, P. Glynn. Stochastic Simulation: Algorithms and Analysis, Springer 2007
3. L. C. Evans. Równania Różniczkowe Cząstkowe, PWN, Warszawa 2002.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: