Algebra przemienna 1000-135ALP

1. Pierścienie przemienne. Ideały pierwsze, ideały maksymalne i prymarne.
Nilradykał pierścienia i jego opis jako przecięcia ideałów pierwszych,
radykał Jacobsona. Przykłady: wielomiany, szeregi, pierscienie funkcji
ciagłych.
2. Lokalizacja i pierscienie lokalne. Zachowanie sie ideałów przy lokalizacji.
3. Moduły. Ciągi dokładne, moduły wolne i projektywne. Lemat Nakayamy.
Iloczyn tensorowy i moduły płaskie.
4. Moduły i pierścienie noetherowskie. Wstępujące ciągi
ideałów i skończona generowalność. Rozkladalność elementów na
nierozkładalne. Twierdzenie Hilberta o bazie. Lokalizacja jest
noetherowska.
5. Skończone rozszerzenia i całkowite domknięcie. Równoważne
charakteryzacje całkowitości rozszerzeń, składanie rozszerzeń,
całkowite domkniecie, pierścienie normalne. Twierdzenie Noether o
normalizacji.
6. Wymiar Krulla. Wymiar Krulla pierscienia wielomianów i skończenie
generowanych k-algebr. Pierścienie Dedekinda.
7. Twierdzenie Hilberta o zerach, słabe i mocne wersje. Zbiory
algebraiczne w przestrzeni afinicznej, rozkład na składowe, topologia
Zariskiego. Spektrum pierścienia noetherowskiego, spektrum skończenie
generowanej algebry nad ciałem, Spec ZZ.
8. Pierścienie i moduły z gradacja, filtracje. Funkcja Hilberta, szereg
Poincare, ideały jednorodne. Relacja tych pojęć do warunku
noetherowskosci.
9. Twierdzenie Krulla o przecięciu, lemat Artina-Reesa, topologie
I-adyczne, uzupełnienia, liczby p-adyczne i ciało Qp jako przykłady.
10. Waluacje dyskretne i podstawowe własności pierscieni waluacji.
Normalne lokalne dziedziny wymiaru 1 są pierscieniami waluacji.
Normalna noetherowska dziedzina jako przecięcie pierscieni waluacji.
11. Ideały pierwsze stowarzyszone z modułem. Rozklad prymarny modułów i
ideałów w pierscieniach noetherowskich.

Uwaga: wykładowca decyduje jak wnikliwie przedstawiać tematy 8–11.