Analiza matematyczna II.2 (potok 1) 1000-114bAM4a
1. Techniki całkowania funkcji wielu zmiennych (twierdzenie Fubiniego, twierdzenie o zamianie zmiennych - powtórzenie). Zasada Cavalierego.
2. Przestrzeń L^1 funkcji całkowalnych i jej zupełność, twierdzenie Riesza o zbieżności podciągu prawie wszędzie. Splot, L^1 jako algebra splotowa. Informacja o przestrzeniach L^p. Jedynka aproksymatywna, aproksymacja funkcji całkowalnych funkcjami gładkimi.
3. Miara powierzchniowa na rozmaitościach zanurzonych w przestrzeni R^n, wzory Cauchy'ego-Bineta. Przykład Schwarza. Miara sfery wielowymiarowej.
4. Formy różniczkowe rzędu 1 i twierdzenie Greena. Formy różniczkowe wyższych rzędów, różniczka zewnętrzna i przeciąganie form, formy zamknięte i dokładne. Formy różniczkowe w R^3, rotacja i dywergencja pola wektorowego.
5. Orientacja rozmaitości i orientacja dziedziczona na brzegu. Całka z formy różniczkowej po rozmaitości zanurzonej. Twierdzenie Stokesa i jego klasyczne przypadki (wzory Gaussa i Greena-Ostrogradskiego).
Kierunek podstawowy MISMaP
matematyka
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024L: |
Efekty kształcenia
1. Potrafi obliczać całki funkcji dwóch i trzech zmiennych, stosując twierdzenia o zamianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie.
2. Zna definicję miary powierzchniowej na rozmaitości gładkiej i własności tej miary. Potrafi obliczać pole powierzchni wykresu funkcji dwóch zmiennych oraz powierzchni opisanej parametrycznie.
3. Zna pojęcie formy różniczkowej i potrafi wykonywać rachunki na formach różniczkowych. Zna twierdzenie Stokesa i jego szczególe przypadki: twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego o dywergencji oraz przykłady ich zastosowań. Potrafi obliczać całki z form różniczkowych po podrozmaitościach R^n. Stosuje wzory Greena i Gaussa- Ostrogradskiego w różnych zadaniach.
Kryteria oceniania
Na podstawie punktów uzyskiwanych w czasie semestru oraz egzaminu.
Literatura
1. A. Birkholc, Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Wydanie II, PWN, Warszawa 2018.
2. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1-3, PWN, Warszawa 2007.
3. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
4. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2009.
5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.
6. L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej. Tom 1-2, PWN, Warszawa 1979.
7. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 2006.
8. P. Strzelecki, Analiza matematyczna II (skrypt wykładu),
http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matamatyczna-ii.pdf
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: