Analiza matematyczna II.2 (potok *) 1000-114bAM4*
Twierdzenie Fubini'ego i Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue'a. Objętości kul w R^n.
Przestrzenie L^p funkcji całkowalnych w p-tej potędze. Splot i jego własności, aproksymacja funkcji wielomianami.
Funkcje absolutnie ciągłe.
Całka i miara Lebesgue'a--Riemanna na rozmaitościach zanurzonych w przestrzeni euklidesowej. Miara sfery wielowymiarowej. Środek masy i twierdzenie Pappusa--Guldina.
Formy różniczkowe i całka z formy różniczkowej na rozmaitości zorientowanej. Rozmaitości z brzegiem. Twierdzenie Stokesa. Specjalne przypadki w niskich wymiarach (analiza wektorowa, wzory Greena, Gaussa-Ostrogradskiego i Stokesa, przykłady zagadnień fizycznych)
Tematy uzupełniające:
-elementy teorii kohomologii de Rhama
-elementy teorii transformaty Fouriera
-twierdzenie Saarda i jego zastosowania
Kierunek podstawowy MISMaP
matematyka
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023L: | W cyklu 2024L: |
Efekty kształcenia
1. Potrafi obliczać całki funkcji wielu zmiennych, stosując twierdzenia o zamianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie
2. Zna definicję miary powierzchniowej na rozmaitości gładkiej i własności tej miary. Potrafi obliczać pole powierzchni wykresu funkcji dwóch zmiennych oraz powierzchni opisanej parametrycznie.
3. Zna twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego o dywergencji i przykłady ich zastosowań (także o charakterze fizycznym). Stosuje wzory Greena i Gaussa-Ostrogradskiego w różnych zadaniach (także opisujących zagadnienia fizyczne bądź geometryczne).
4. Zna i potrafi zastosować w praktyce język form różniczkowych. Potrafi wykonywać operacje iloczynu zewnętrznego i różniczki zewnętrznej. Rozumie i potrafi wykorzystać własność funktorialności obu operacji. Potrafi całkować formy różniczkowe.
5. Zna i stosuje ogólne twierdzenie Stokesa dla form różniczkowych.
6. Wykorzystuje aparat form różniczkowych do konstruowania niezmienników topologicznych pewnych przestrzeni.
Kryteria oceniania
Kolokwium, egzamin pisemny oraz punkty za aktywność na ćwiczeniach. Egzamin ustny w sytuacjach niejednoznacznych.
Zaproponowaną ocenę można poprawiać na egzaminie ustnym.
Literatura
A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. PWN, Warszawa 2002.
B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t. I) i 1993 (t. II i III).
G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom III, PWN, Warszawa 1999.
W. Pusz, A. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.
M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 1977.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: