Filozofia matematyki 3800-FM25-F

Filozofia matematyki podejmuje refleksję nad matematyką, naturą poznania matematycznego, rozwojem matematyki, filozoficznymi założeniami, jakie leżą u jej podstaw, zastosowaniami matematyki w naukach przyrodniczych, miejscem matematyki w kulturze – czy wreszcie rolą pojęć matematycznych w dyskusjach filozoficznych i wzajemnymi inspiracjami matematyki i filozofii. Przedmiotem badań filozofii matematyki są więc zarówno ogólne pytania ontologiczne i epistemologiczne, jak i pytania szczegółowe – takie jak na przykład: natura pojęcia nieskończoności, rola komputerów w matematyce, standardy ścisłości dowodowej, pytania ontologiczne związane z istnieniem i naturą obiektów matematycznych, relacja między matematyką a logiką.

Celem zajęć jest m.in. pokazanie, że badania matematyczne i analiza pojęć matematycznych w naturalny sposób prowadzą stawiania głębokich pytań filozoficznych. Przykładów jest bardzo dużo – dlatego na zajęciach będziemy omawiać dość szerokie spektrum zagadnień (zarówno tych standardowych – jak twierdzenia Gödla – jak również nieco rzadziej prezentowanych, a bardzo ważnych – jak np. problem granic obliczalności czy charakter komputerów kwantowych).
Zagadnienia filozoficzne dyskutowane na wykładzie będą ilustrowane przykładami z praktyki matematycznej. Wykład nie będzie miał charakteru technicznego, jednak pewne pojęcia będą wprowadzane w sposób ścisły. Aby ułatwić zrozumienie owych pojęć, będziemy pracować w oparciu o liczne przykłady, a ćwiczenia będą dawały możliwość przedyskutowania wprowadzanych pojęć i ułatwiały ich zrozumienie). Warunkiem uczestnictwa jest zaliczenie kursu Logiki I (lub podobnego), przy czym – w miarę potrzeby – niezbędne pojęcia zostaną przypomniane na zajęciach. W wypadku niektórych zagadnień proponowane będą lektury, stanowiące uzupełnienie i punkt wyjścia do dyskusji.
Przykłady tematów, które zostaną omówione na zajęciach:

- Pojęcie nieskończoności: intuicyjne rozumienie, formalne definicje, hierarchia nieskończoności.
- Pojęcie niezależności, twierdzenia Gödla i ich znaczenie filozoficzne.
- Teoria mnogości jako podstawa matematyki – ontologia teoriomnogościowa. Problem natury obiektów matematycznych.
- Spór realizm-antyrealizm w filozofii matematyki: stanowiska klasyczne i współczesne.
- Pojęcie prawdopodobieństwa: intuicje, paradoksy i trudności pojęciowe, formalizacja, interpretacje pojęcia prawdopodobieństwa.
- Przykłady zastosowań matematyki w analizie problemów filozoficznych.
- Pojęcie obliczalności, granice obliczalności (komputery kwantowe, procesy algorytmiczne i niealgorytmiczne).
- Czym są liczby naturalne – i w jaki sposób prowadzą do innych struktur liczbowych? (Definicja przez abstrakcję, konstrukcje ilorazowe).