Matematyka dla AI I 3800-AIK-MAI1
1. Układy równań liniowych. Rozwiązanie ogólne. Macierze. Operacje elementarne na wierszach macierzy. Postać schodkowa zredukowana. Zastosowanie do rozwiązywania układów równań.
2. Ciała. Ciało liczb zespolonych. Postać trygonometryczna liczb zespolonych. Pierwiastki wielomianów. Zasadnicze twierdzenie algebry (bez dowodu). Pierwiastki z jedynki. Ciała $Z_p$.
3. Przestrzenie liniowe. Podprzestrzenie. Kombinacje liniowe, przestrzenie rozpięte na układach wektorów. Układy liniowo niezależne. Bazy. Wymiar przestrzeni liniowej. Współrzędne wektora w bazie. Rząd macierzy. Opisywanie podprzestrzeni układami równań liniowych.
4. Iloczyn i suma algebraiczna podprzestrzeni. Związek między wymiarami sumy podprzestrzeni i ich iloczynu. Suma prosta podprzestrzeni.
5. Przekształcenia liniowe. Najważniejsze przykłądy przekształceń liniowych. Zadawanie przekształcenia liniowego przez wartości na bazie. Jądro i obraz przekształcenia. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Wymiar przestrzeni w zależności od wymiaru jądra i obrazu przekształcenia liniowego.
6. Macierz przekształcenia liniowego. Algebra macierzy. Macierze odwracalne.
7. Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Obliczanie za pomocą operacji elementarnych. Rozwinięcia Laplace'a. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu wyznaczników.
8. Zastosowania wyznaczników, związki z rzędem i z odwracalnością macierzy. Wzory Cramera na rozwiązanie układu n równań liniowych z n niewiadomymi.
9. Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie i jej zależność od bazy. Relacja podobieństwa macierzy.
10. Wektory, podprzestrzenie i wartości własne. Wielomian charakterystyczny. Endomorfizmy i macierze diagonalizowalne.
11. Twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy endomorfizmu.
12. Ogólny iloczyn skalarny. Nierówność Schwarza. Nierówność trójkąta. Bazy ortonormalne. Macierze ortogonalne. Rzuty prostopadłe i symetrie.
13. Formy dwuliniowe symetryczne. Formy kwadratowe. Kryterium Sylvestera określoności formy kwadratowej.
14. Informacje o logicznych i teoriomnogościowych podstawach matematyki (relacje równoważności, relacje porządku, teoria mocy).
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Nabyta wiedza: Podstawy algebry liniowej nad dowolnym ciałem skalarów. Elementarne pojęcia i najważniejsze związki między nimi (definicje oraz twierdzenia). Przykłady sytuacji w których w naturalny sposób pojawiają się pojęcia algebry liniowej – korzyści z ujęcia algebraicznego.
Nabyte umiejętności: Elementarne metody rachunkowe prowadzące do uzyskania konkretnych wyników w zagadnieniach algebry liniowej. Główny nacisk położony jest jednak na dogłębne zrozumienie pojęć i związków między nimi – algorytmy rachunkowe mają charakter niezbywalny, ale pomocniczy. Student zna podstawy zapisu matematycznego i potrafi redagować proste
dowody oraz umiejętnie organizować rachunki prowadzące do rozwiązania nieskomplikowanych problemów algebry liniowej. Rozwiązywane problemy widzi na szerszym tle.
Nabyte kompetencje społeczne: Umiejętność komunikowania własnych przemyśleń i refleksji w rygorystyczny sposób. Szukanie poznawczych kompromisów na bazie wspólnego języka ( matematycznego).
Kryteria oceniania
Na podstawie punktów uzyskiwanych w czasie semestru oraz egzaminu.
Dopuszczalna liczba nieobecności podlegających usprawiedliwieniu: 2 w semestrze
Literatura
(1) T. Koźniewski, Wykłady z Algebry Liniowej;
(2) A. Białynicki-Birula, Algebra Liniowa z Geometrią
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: