Matematyczne i filozoficzne podstawy prawdopodobieństwa 3501-MFPP-M-OG

Dlaczego prawdopodobieństwo jest pojęciem, które zasługuje na uwagę? Odpowiedź na to pytanie nie nastręcza trudności. Prawdopodobieństwo, w różnych swoich znaczeniach, odgrywa ważną rolę w naszym myśleniu potocznym oraz jest centralnym pojęciem wszystkich teorii naukowych testowanych empirycznie. Prawdopodobieństwo jest składnikiem wnioskowań potocznych i podstawą podejmowanych przez nas decyzji. Przykłady potocznych wnioskowań probabilistycznych to takie wnioskowania jak:
Przesłanka 1: Jeśli A jest prawdziwe, to B jest prawdziwe.
Przesłanka 2: B jest prawdziwe.
Wniosek: Zatem A staje się bardziej prawdopodobne.
Przesłanka 1: Jeśli A jest prawdziwe, to B jest prawdziwe.
Przesłanka 2: A jest fałszywe.
Wniosek: Zatem B staje się mniej prawdopodobne.
Z tych powodów poznanie matematycznych i filozoficznych podstaw prawdopodobieństwa powinno być składnikiem uniwersyteckiego wykształcenia.

Przedmiotem wykładu będzie pojęcie prawdopodobieństwa ujmowane

(1) z perspektywy algebraicznej,
(2) z perspektywy teorii miary,
(3) z perspektywy podstawowych pojęć topologicznych oraz
(4) z perspektywy współczesnej Bayesiańskiej epistemologii.

Teoria Kołmogorowa (1933), która podaje aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa, uważana jest współcześnie za teorię standardową. Matematyczne podstawy tej teorii sformułowane są w terminach algebry oraz w terminach teorii funkcji rzeczywistych i są następstwem tego, że teoria ta daje odpowiedź na dwa elementarne pytania dotyczące prawdopodobieństwa:

(1) Jak powinny być reprezentowane matematycznie obiekty, którym przypisujemy prawdopodobieństwo, nazywane tradycyjnie zdarzeniami;
(2) Jak powinna być reprezentowana matematycznie funkcja, która zdarzeniom przyporządkowuje liczbę w charakterze jego prawdopodobieństwa.

Aksjomatyka podana przez Kołmogorowa wymaga tego, aby prawdopodobieństwo było znormalizowaną miarą Lebesgue’a, czyli nie-negatywną i addytywną funkcją na sigma-ciele K podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych E spełniającą aksjomat ciągłości. Aksjomat ciągłości wraz z pozostałymi aksjomatami rachunku prawdopodobieństwa jest równoważny logicznie aksjomatowi przeliczalnej addytywności, jaki przyjmowany jest we współczesnych wersjach aksjomatyki Kołmogorowa. Aksjomat ten gwarantuje jednoznaczne rozszerzenie miary do przeliczalnie addytywnej miary na przeliczalnie addytywnym ciele zbiorów (nazywanym sigma-ciałem lub sigma-algebrą). Dwa podstawowe pojęcia algebraiczne charakterystyczne dla matematycznej teorii prawdopodobieństwa to pojęcie ciała zbiorów oraz sigma-ciała (s-ciała) zbiorów. Na wykładzie podane zostaną też definicje innych pojęć algebraicznych opisujących prawdopodobieństwo.
W teorii prawdopodobieństwa zbiór E (oznaczany często też przez W) nazywany jest zbiorem zdarzeń lub zbiorem wyników, przez które rozumiemy wszystkie możliwe wyniki eksperymentu lub obserwacji. Na przykład zbiorem takim może być liczba reszek, jaką uzyskaliśmy w skończonej liczbie n rzutów monetą. Wtedy przestrzeń E jest zbiorem {0, ....., n}. Jeśli bierzemy pod uwagę możliwe ciągi wyników, wtedy E jest przestrzenią wszystkich n-elementowych ciągów, których liczba równa jest 2n. Jeśli natomiast rozważamy nieskończony ciąg rzutów monetą, to zbiorem E jest przedział jednostkowy. Każdy podzbiór zbioru E reprezentuje zdarzenie, natomiast każdy element zbioru E reprezentuje zdarzenie elementarne. Prawdopodobieństwo jest szczególnym rodzajem miary. Można wykazać, że jeśli jest to miara Lebesgue’a, to w przedziale [0, 1] istnieją zbiory niemierzalne.
Dobrym przykładem tego, że pojęcie prawdopodobieństwa związane jest z pojęciami o charakterze topologicznym jest paradoks Bertranda, który wymaga rozważenia nieprzeliczalnie nieskończonego zbioru zdarzeń elementarnych. Jednym z takich pojęć topologicznych jest pojęcie pokrycia zbioru. Na wykładzie zostaną zdefiniowane też inne pojęcia topologiczne, przy pomocy których opisujemy prawdopodobieństwo.
Odpowiedź na pytanie o to, ile istnieje różnych interpretacji prawdopodobieństwa zależy od kryteriów, jakie nakładamy na tego rodzaju interpretacje i nie wydaje się, aby mogła być rozstrzygnięta raz na zawsze. Z pewnością moglibyśmy wyróżnić trzy takie interpretacje odwołujące się do trzech różnych pojęć prawdopodobieństwa:

(1) interpretację obiektywną,
(2) interpretację subiektywną (epistemiczną),
(3) interpretację logiczną.

Przy interpretacji epistemicznej, nazywanej też Bayesiańską, prawdopodobieństwo jest miarą niepewności agenta co do zajścia danego zdarzenia. Prawdopodobieństwo reprezentujące nasze niepewne przekonania wyrażamy bądź przy pomocy funkcji przyporządkowującej liczbę rzeczywistą z przedziału [0,1], bądź przy pomocy funkcji przyporządkowującej pod-przedział takiego przedziału liczb rzeczywistych, bądź wreszcie przy pomocy rodziny funkcji przyporządkowujących liczby rzeczywiste z przedziału [0,1]. Nasza niepewność jest konsekwencją z jednej strony notorycznego braku wiedzy empirycznej, a z drugiej strony naszych ograniczonych zdolności dedukcyjnych. Modelowanie niepewności jest w takiej sytuacji szczególnie doniosłe ze względu na potrzebę głębszego zrozumienia ludzkich zdolności kognitywnych i mechanizmów decyzyjnych. Z perspektywy realnych agentów, którzy nie są wszechwiedzący ze względu na swoje ograniczone możliwości dedukcyjne, systemy przekonań nie powinny być reprezentowane przy pomocy teorii domkniętych na relację logicznej konsekwencji. Na gruncie Bayesianizmu w jego standardowej wersji przekonania modelowane są przy pomocy funkcji prawdopodobieństwa i przy pomocy operacji warunkowania, polegającej na przejściu od prawdopodobieństwa pierwotnego do prawdopodobieństwa warunkowego, gdzie warunkiem są uzyskane dane empiryczne. Gdy przekonania wyrażamy przy pomocy rodzin funkcji prawdopodobieństwa, mamy do czynienia ze zjawiskiem probabilistycznego rozszerzenia, które zostanie przedstawione na wykładzie. Wszystkie odmiany Bayesiańskiej epistemologii opierają się na założeniu, że stopień przekonania agenta rozporządzającego danymi E (włączając w to empiryczne fakty i teoretyczną wiedzę agenta) powinien być reprezentowany przy pomocy funkcji prawdopodobieństwa. Subiektywna odmiana Bayesiańskiej epistemologii do tego wstępnego założenia dodaje tylko tyle, że aktualizacja wiedzy agenta reprezentowana jest przez warunkowanie, podczas gdy funkcja pierwotnego prawdopodobieństwa pozostaje całkowicie zależna od decyzji danego agenta. Oprócz odmiany subiektywnej w Bayesiańskiej epistemologii wyróżniamy jej wersję empirycznie zorientowaną i wersję obiektywną. Wszystkie trzy odmiany Bayesiańskiej epistemologii będą omawiane na wykładzie.