Analiza matematyczna II 2400-ZL1AM2
Zajęcia składają się z 14 wykładów z analizy matematycznej obejmujących uzupełnienie materiału z rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej z semestru zimowego, a także analizę wielowymiarową. Ich celem jest przeniesienie pojęć z AM I takich jak zbieżność ciągów, ciągłość i różniczkowalność funkcji do ciągów i funkcji zdefiniowanych w przestrzeni wielowymiarowej. Zaprezentowana zostanie analiza punktów krytycznych funkcji, teoria wypukłości i jej zastosowanie do problemów optymalizacyjnych, teoria mnożników Lagrange’a znajdowania ekstremów warunkowych, jak również całka wielokrotna wraz z twierdzeniem o zamianie zmiennych. Celem wykładu i ćwiczeń jest zapoznanie uczestników z jak największą liczbą problemów związanych z zagadnieniami gospodarczymi i ekonomicznymi, w których poznany aparat analizy wielowymiarowej odgrywa kluczową rolę. Kolejne wykłady obejmują następujące treści:
Przypomnienie rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej. Nierówność Jensena w kontekście analizy funkcji użyteczności i jej awersji do ryzyka. (1 wykład)
Geometria wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej. (1 wykład)
Granice ciągów i funkcji n-wymiarowych. (1 wykład)
Teoria różniczkowania funkcji wielu zmiennych: pochodna kierunkowa, pochodna cząstkowa, gradient i różniczka Frécheta. Twierdzenie o gradiencie wyznaczającym kierunek najszybszego wzrostu funkcji. (2 wykłady)
Twierdzenie o przyrostach, warunki konieczne na różniczkowalność, warunek istnienia i ciągłości pochodnych cząstkowych jako warunek wystarczający, twierdzenia o różniczce złożenia i odwzorowania odwrotnego, pojęcie macierzy Jacobiego i macierzy Hessego. (2 wykłady)
Twierdzenie Fermata, punkty krytyczne i metoda wyznaczania ekstremów globalnych. (1 wykład)
Kryterium Sylvestera pozwalające rozstrzygać określoność formy kwadratowej wyznaczonej przez macierz Hessego, a także jego zastosowanie do znajdowania ekstremów lokalnych i punktów siodłowych funkcji wielu zmiennych. (1 wykład)
Dyfeomorfizmy, rozmaitości, wyznaczanie przestrzeni stycznych i normalnych, twierdzenie o funkcji uwikłanej. (1 wykład)
Twierdzenie Lagrange’a o ekstremach warunkowych. Przykłady wykorzystania mnożników Lagrange’a. (1 wykład)
Zastosowania całki Riemanna, w tym zastosowanie do obliczania długości krzywych oraz pól powierzchni i objętości brył obrotowych. Całki wielokrotne, metody ich obliczania, w tym twierdzenie o zamianie zmiennych.
Szacunkowy nakład pracy studenta: 6ECTS x25h = 150h
(K) godziny kontaktowe (S) – godziny pracy samodzielnej
Wykłady i ćwiczenia: 56h (K) 0h (S)
Konsultacje: 15 (K) 0h (S)
Egzamin: 2h (K) 0h (S)
Przygotowanie do egzaminu: 0h (K) 25h (S)
Przygotowanie do sprawdzianów: 0h (K) 15h (S)
Przygotowanie do ćwiczeń 0h (K) 28h (S)
Przygotowanie do wykładów 0h (K) 6h (S)
Praktyczne obliczenia w środowisku Octave/Matlab 0h (K) 3h (S)
Razem: 73h (K) + 77h (S) = 150h
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Po ukończeniu przedmiotu, student:
W ZAKRESIE WIEDZY:
zna i rozumie podstawowe pojęcia i struktury analizy matematycznej funkcji jednej i wielu zmiennych, w tym własności przestrzeni euklidesowych i unormowanych, pojęcia granicy, ciągłości oraz rozwinięcia funkcji w szereg Taylora
zna i rozumie pojęcia i narzędzia rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych, w szczególności pochodne kierunkowe, gradient, macierze Jacobiego i Hessego, różniczkę Frécheta oraz warunki różniczkowalności i własności odwzorowań (w tym twierdzenia o funkcji uwikłanej i odwzorowaniu odwrotnym)
zna i rozumie metody badania ekstremów funkcji jednej i wielu zmiennych, w tym pojęcia wypukłości i wklęsłości, kryteria klasyfikacji punktów krytycznych (w tym kryterium Sylvestera), metodę mnożników Lagrange’a oraz pojęcie całki Riemanna i całek wielokrotnych wraz z ich interpretacją i zastosowaniami
W ZAKRESIE UMIEJĘTNOŚCI:
potrafi analizować własności funkcji jednej i wielu zmiennych, w tym badać ich granice, ciągłość, wypukłość i wklęsłość, wyznaczać rozwinięcia w szereg Taylora oraz interpretować uzyskane wyniki w kontekście zagadnień aplikacyjnych
potrafi stosować narzędzia rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych, w szczególności obliczać pochodne cząstkowe i kierunkowe, gradient, macierze Jacobiego i Hessego, badać różniczkowalność funkcji oraz klasyfikować punkty krytyczne, wykorzystując odpowiednie kryteria
potrafi modelować i rozwiązywać zagadnienia optymalizacyjne oraz całkowe z wykorzystaniem narzędzi analizy matematycznej, w tym metody mnożników Lagrange’a, twierdzenia o funkcji uwikłanej oraz obliczania całek wielokrotnych z zastosowaniem odpowiednich podstawień i transformacji zmiennych
W ZAKRESIE KOMPETENCJI:
jest gotów do samodzielnego i odpowiedzialnego wykorzystywania wiedzy z zakresu analizy matematycznej w rozwiązywaniu problemów, w tym problemów optymalizacyjnych, oraz do refleksji nad poprawnością uzyskanych rozwiązań
jest gotów do systematycznego i samodzielnego uczenia się, planowania pracy własnej oraz dokonywania świadomych wyborów dotyczących metod nabywania i pogłębiania wiedzy
jest gotów do rzetelnego, uczciwego i zdyscyplinowanego postępowania w procesie kształcenia, z poszanowaniem zasad etyki akademickiej i obowiązujących wymagań
kierunek Ekonomia: K_W02 K_W07 K_U02 K_K01
Kryteria oceniania
Uzyskanie zaliczenia przedmiotu wymaga:
1. Obecności na ćwiczeniach i wykładzie (dopuszczalne są dwie nieobecności)
2. Uzyskania wyniku powyżej 50% z ważonej oceny z ćwiczeń i egzaminu (ćwiczenia-20%, egzamin-80%).
3. Skala ocen:
[0%-50%) – ndst
[50%-60%) – dst
[60%-70%) – dst +
[70%-80%) – db
[80%-90%) – db+
[90%-100%] – bdb.
Literatura
Literatura podstawowa:
M. Krych Analiza matematyczna dla ekonomistów, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2009
Literatura uzupełniająca:
R. Antoniewicz, A. Misztal, Matematyka dla studentów ekonomii. Wykłady z ćwiczeniami, WN PWN, Warszawa 2009.
J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 2006.
T. Bażańska, I. Karwacka, M. Nykowska, Zadania z matematyki, podręcznik dla studiów ekonomicznych, PWN, Warszawa 1980.
Alpha C. Chiang, Podstawy ekonomii matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1994.
W. Dubnicki, J. Kłopotowski, T. Szapiro, Analiza Matematyczna. Podręcznik dla ekonomistów, WN PWN, Warszawa 2010.
W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, część 1, 2 i 3, WN PWN, Warszawa 2005.
W. Kołodziej, Analiza matematyczna, WN PWN, Warszawa 2009.
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, WN PWN, Warszawa 2008.
K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, WN PWN, Warszawa 2008.
W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, WN PWN, Warszawa 2009
A. Ostoja-Ostaszewski, Matematyka w ekonomii. Modele i metody, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 1996.
Uwagi
|
W cyklu 2025L:
Oprogramowanie: |
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: