Algebra liniowa 2400-ZL1AL
Przedmiotem zajęć w trakcie przedmiotu Algebra liniowa jest czternaście bloków tematycznych. Łącznie tworzą one spójny zestaw narzędzi do opisu i rozwiązywania problemów liniowych, stanowiących podstawę metod ilościowych wykorzystywanych w ekonomii, statystyce i ekonometrii. Celem wykładu jest wprowadzenie pojęć i twierdzeń oraz przedstawienie metod obliczeniowych i interpretacyjnych, wraz z ukazaniem ich roli w analizowaniu i modelowaniu zjawisk ekonomicznych oraz w pracy z danymi. Celem ćwiczeń jest ugruntowanie wiedzy przekazywanej na wykładzie i uzyskanej w drodze samodzielnego studiowania literatury, a także wykształcenie umiejętności rozwiązywania standardowych zadań rachunkowych; w uzasadnionym zakresie wykorzystywane są narzędzia obliczeniowe (np. Octave/MATLAB) do weryfikacji wyników i sprawnego wykonywania obliczeń.
W kolejnych blokach omawiane są następujące treści:
układy równań liniowych: zapis macierzowy, operacje elementarne, eliminacja Gaussa, postać (schodkowa) zredukowana macierzy i jej jednoznaczność, warunki istnienia i jednoznaczności rozwiązań;
przestrzenie wektorowe: podprzestrzenie, kombinacje liniowe, generowanie, równoważne opisy podprzestrzeni;
bazy i liniowa niezależność: baza, wymiar, współrzędne w bazie, kryteria niezależności, lemat Steinitza;
odwzorowania liniowe: definicje, jądro i obraz, macierz odwzorowania i jej rząd, twierdzenie o wymiarach;
działania na odwzorowaniach liniowych: złożenie i suma, mnożenie macierzy, macierze elementarne, związek mnożenia macierzy ze składaniem odwzorowań liniowych, macierze blokowe;
wyznaczniki: definicja, własności, interpretacja geometryczna, wzór Laplace’a, metody obliczania, wyznacznik macierzy (blokowej) górnotrójkątnej;
zastosowania wyznaczników: macierz odwrotna, związek wyznacznika z odwracalnością, metody obliczania macierzy odwrotnej, charakteryzacja rzędu przez niezerowe minory, twierdzenie Kroneckera-Capellego, wnioskowanie o rozwiązalności układów, reguła Cramera, własności algebry macierzy;
endomorfizmy liniowe: macierze kwadratowe, wielomian charakterystyczny, wartości i wektory własne oraz metody ich obliczania, twierdzenie Cayley’a-Hamiltona;
zastosowania diagonalizacji macierzy: macierze diagonalizowalne, wyznacznik Vandermonde’a, twierdzenie o niezależności wektorów własnych, obliczanie potęgi macierzy, wielomian minimalny, charakteryzacja macierzy diagonalizowalnych;
iloczyn skalarny: standardowy iloczyn skalarny i jego interpretacja geometryczna, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, dopełnienie ortogonalne, rozkład ortogonalny, bazy ortonormalne, rzuty i symetrie ortogonalne oraz ich własności, ortogonalizacja Grama-Schmidta, metoda najmniejszych kwadratów;
przestrzeń afiniczna R^n: podprzestrzenie afiniczne, kombinacje afiniczne, równoważne opisy podprzestrzeni afinicznych, odwzorowania afiniczne, metody obliczania afinicznego rzutu ortogonalnego oraz symetrii;
programowanie liniowe: sformułowanie zadania programowania liniowego, przykłady zastosowań, interpretacja geometryczna ograniczeń i funkcji celu, postać standardowa, zbiory bazowe dopuszczalne i ich interpretacja geometryczna;
metoda sympleks: idea metody, tablice sympleksowe, rozwiązania bazowe i interpretacja wyników, znajdowanie początkowego zbioru bazowego dopuszczalnego, zjawisko cykliczności w metodzie sympleks;
formy kwadratowe: macierze symetryczne, (pół-)określoność, kryterium Sylvestera, twierdzenie spektralne, kryterium wartości własnych, zastosowania w optymalizacji.
Szacunkowy nakład pracy studenta: 6ECTS x 25h = 150h
(K) - godziny kontaktowe (S) - godziny pracy samodzielnej
wykład (zajęcia): 28h (K) 0h (S)
ćwiczenia (zajęcia): 28h (K) 0h (S)
egzamin: 3h (K) 0h (S)
konsultacje: 11h (K) 0h (S)
przygotowanie do ćwiczeń: 0h (K) 20h (S)
przygotowanie do wykładów: 0h (K) 10h (S)
przygotowanie do kolokwiów i kartkówek: 0h (K) 25h (S)
przygotowanie do egzaminu: 0h (K) 20h (S)
praktyczne obliczenia w środowisku Octave/MATLAB 0h (K) 5h (S)
Razem: 70h (K) + 80h (S) = 150h
|
W cyklu 2025Z:
1. Układy równań liniowych: przekształcenia elementarne, układy równoważne, rozwiązania szczególne i rozwiązanie ogólne, rozwiązywanie metodą eliminacji Gaussa. Szacunkowy nakład pracy studenta: 5ECTS x 25h = 125h |
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
Po ukończeniu przedmiotu, student:
W ZAKRESIE WIEDZY:
zna i rozumie podstawowe pojęcia i twierdzenia algebry liniowej: przestrzenie wektorowe, kombinacje i niezależność liniową, bazy i wymiar, przekształcenia liniowe oraz ich reprezentacje macierzowe.
zna i rozumie własności macierzy i wyznaczników (rząd, odwracalność, rozwiązywalność układów równań), a także pojęcia wartości i wektorów własnych, diagonalizacji, iloczynu skalarnego i form kwadratowych (określoność).
zna i rozumie rolę algebry liniowej jako narzędzia metod ilościowych w ekonomii, statystyce i ekonometrii, w tym znaczenie obliczeń numerycznych oraz analizy danych w środowisku dynamicznego rozwoju technologii (np. big data, AI).
W ZAKRESIE UMIEJĘTNOŚCI:
potrafi rozwiązywać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa oraz oceniać liczbę rozwiązań (jednoznaczność/niejednoznaczność/brak) na podstawie postaci zredukowanej/rzędu macierzy.
potrafi badać niezależność liniową, wyznaczać bazy i wymiar, obliczać rząd i wyznacznik, wyznaczać wartości i wektory własne oraz (gdy to możliwe) przeprowadzać diagonalizację macierzy i analizę form kwadratowych.
potrafi wykorzystywać narzędzia informatyczne (np. Octave/MATLAB) do obliczeń, weryfikacji i prezentacji wyników oraz interpretować je w kontekście modeli ekonomicznych, statystycznych, ekonometrycznych i prostych zadań optymalizacyjnych (np. programowania liniowego).
W ZAKRESIE KOMPETENCJI:
wykazuje postawę krytyczną w analizie wyników (weryfikacja poprawności, ocena ograniczeń metod i danych) oraz gotowość do stosowania narzędzi ilościowych w rozwiązywaniu problemów ekonomicznych.
jest gotów do stałego rozwijania własnych kompetencji matematycznych i informatycznych (w tym uczenia się nowych narzędzi analitycznych w warunkach cyfryzacji) oraz do współpracy z ekspertami z innych dziedzin przy rozwiązywaniu problemów praktycznych.
Kryteria oceniania
Uzyskanie zaliczenia przedmiotu wymaga:
1. obecności na ćwiczeniach (dopuszczalne są dwie nieobecności), uzyskania punktów z ćwiczeń, stanowiących 30% wyniku końcowego, na podstawie dwóch pisemnych kolokwiów, pisemnych kartkówek oraz aktywności w czasie zajęć, polegającej w szczególności na rozwiązywaniu zadań przy tablicy lub udziale w dyskusji;
2. uzyskania punktów z pisemnego egzaminu końcowego, stanowiącego 70% wyniku końcowego, który składa się z 7 standardowych zadań obliczeniowych;
3. uzyskania co najmniej 50% punktów z wyniku końcowego, liczonego jako suma ważona punktów z ćwiczeń (30%) oraz punktów z egzaminu końcowego (70%).
4. Skala ocen:
[0%-50%) – ndst (2.0)
[50%-60%) – dst (3.0)
[60%-70%) – dst+ (3.5)
[70%-80%) – db (4.0)
[80%-90%) – db+ (4.5)
[90%-100%] – bdb (5.0)
Literatura
Literatura obowiązkowa (wybrane rozdziały):
Koźniewski, Tadeusz. Wykłady z algebry liniowej I. Warszawa: Uniwersytet Warszawski, Wydział MIM UW, 2008.
Rutkowski, Jerzy. Algebra liniowa w zadaniach. 1. wyd. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.
Slajdy do wykładów.
Literatura uzupełniająca (wybrane rozdziały):
Antoniewicz, Ryszard; Misztal, Andrzej. Matematyka dla studentów ekonomii. Wykłady z ćwiczeniami. 4. wyd. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2023.
Klukowski, Julian; Nabiałek, Ireneusz. Algebra dla studentów. 4. wyd. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2021.
Banaszak, Grzegorz; Gajda, Wojciech. Elementy algebry liniowej. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002.
Banaszak, Grzegorz; Gajda, Wojciech. Elementy algebry liniowej. Cz. 2. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002.
Dokumentacja programu Octave: https://docs.octave.org/latest/
|
W cyklu 2025Z:
Koźniewski, Tadeusz. Wykłady z algebry liniowej I. Warszawa: Uniwersytet Warszawski, Wydział MIM, 2008. |