Rachunek prawdopodobieństwa 2400-L2PPRP
Przedmiotem kursu są podstawowe pojęcia i metody rachunku prawdopodobieństwa, podzielone na cztery obszary tematyczne: zagadnienia wstępne, jednowymiarowe zmienne losowe, wielowymiarowe zmienne losowe oraz twierdzenia graniczne.
Szczególny nacisk położony jest na rozumienie narzędzi probabilistycznych w kontekście statystyki matematycznej i analizy modeli ekonomicznych.
Celem 15h wykładu jest wprowadzenie pojęć i definicji, omówienie twierdzeń oraz ich konsekwencji praktycznych.
Celem 30h ćwiczeń jest ugruntowanie wiedzy nabytej w trakcie wykładów i podczas samodzielnego studiowania literatury oraz nabycie praktycznych umiejętności stosowania omawianych metod przy rozwiązywaniu problemów z zakresu demografii, ekonomii i finansów.
W kolejnych blokach omawiane są następujące treści:
Blok I (zagadnienia podstawowe):
● Przestrzeń probabilistyczna: model doświadczenia, aksjomaty Kołmogorowa, własności. Wzór włączeń i wyłączeń. Schemat klasyczny. Prawdopodobieństwo geometryczne.
● Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.
● Wzajemna niezależność zdarzeń; niezależność parami. Schemat Bernoulliego. Twierdzenie Poissona.
Blok II (jednowymiarowe zmienne losowe):
● Definicja zmiennej losowej o wartościach rzeczywistych. Rozkład prawdopodobieństwa. Rozkłady dyskretne (w tym: dwumianowy, geometryczny, Poissona) i ciągłe (w tym: jednostajny, wykładniczy, normalny).
Własności gęstości.
● Dystrybuanta i jej własności. Dystrybuanta a rozkład. Rozkład funkcij zmiennej losowej. Kwantyle.
● Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych. Wartość oczekiwana dla zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej, możliwości uogólnienia. Rozkład bez wartości oczekiwanej (Cauchy'ego).
● Wariancja. Wartości oczekiwane i wariancje dla najważniejszych rozkładów. Momenty. Współczynnik asymetrii, kurtoza. Analogiczne charakterystyki liczbowe próbki (średnia, wariancja, dystrybuanta empiryczna i kwantyle).
Blok III (wielowymiarowe zmienne losowe):
● Rozkład łączny zmiennych losowych (ciągłe i dyskretne wektory losowe). Wartość oczekiwana funkcji zmiennych losowych. Kowariancja. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona (odniesienie do nierówności Schwarza).
● Niezależność zmiennych losowych. Kryteria niezależności dla rozkładów dyskretnych i ciągłych. Splot gęstości (rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych). Niezależność a współczynnik korelacji. Wielowymiarowy rozkład normalny i jego własności.
● Rozkład warunkowy zmiennej losowej. Warunkowa wartość oczekiwana dla rozkładów dyskretnych i ciągłych.
Blok IV (twierdzenia graniczne):
● Nierówność Czebyszewa i pochodne.
● Zbieżność według prawdopodobieństwa i prawie na pewno. Prawa wielkich liczb (warianty słabe i mocne). Twierdzenie Gliwenki-Cantelliego.
● Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a. Centralne twierdzenie graniczne dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Przykłady zastosowań.
Szacunkowy nakład pracy studenta: 6ECTS x 25h = 150h
(K) - godziny kontaktowe (S) - godziny pracy samodzielnej
wykład (zajęcia): 15h (K) 0h (S)
ćwiczenia (zajęcia): 30h (K) 0h (S)
kolokwium i egzamin końcowy: 5h (K) 0h (S)
konsultacje: 5h (K) 0h (S)
przygotowanie do ćwiczeń: 0h (K) 25h (S)
przygotowanie do wykładów: 0h (K) 5h (S)
przygotowanie do kolokwium: 0h (K) 15h (S)
przygotowanie do egzaminu: 0h (K) 15h (S)
praca w Moodle (quizy): 0h (K) 30h (S)
przygotowanie prezentacji: 0h (K) 5h (S)
Razem: 55h (K) + 95h (S) = 150h
Rodzaj przedmiotu
Efekty uczenia się
Po ukończeniu przedmiotu, student:
W ZAKRESIE WIEDZY:
zna i rozumie podstawowe pojęcia i twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa, które są wykorzystywane w statystyce, ekonometrii, finansach czy teorii ubezpieczeń (w szczególności: przestrzeń probabilistyczna, prawdopodobieństwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, twierdzenie Poissona, zmienna losowa, dystrybuanta, rozkład dyskretny, rozkład ciągły, gęstość, wartość oczekiwana i inne momenty zmiennej losowej, rozkład łączny i rozkłady brzegowe zmiennych losowych, kowariancja, niezależność zmiennych losowych, splot gęstości, warunkowa wartość oczekiwana, nierówność Czebyszewa, zbieżność wg prawdopodobieństwa i prawie na pewno, prawa wielkich liczb, Centralne Twierdzenie Graniczne i twierdzenie de Moivre’a – Laplace’a;
zna podstawowe modele i rozkłady probabilistyczne (takie jak geometryczne modele prawdopodobieństwa, Schemat Bernoulliego, rozkład dwumianowy, rozkład geometryczny, rozkład Poissona, rozkład jednostajny, rozkład normalny, rozkład wykładniczy, rozkład Cauchy’ego), rozumie ich własności i specyfikę i wie, w jakich sytuacjach mogą mieć zastosowanie do opisu rzeczywistości;
zna i rozumie możliwości i ograniczenia prostych narzędzi (arkusze kalkulacyjne, programy obliczeniowe) przy analizie ciągłych i dyskretnych zmiennych losowych, oraz narzędzi sztucznej inteligencji w zagadnieniach probabilistycznych.
W ZAKRESIE UMIEJĘTNOŚCI:
potrafi opisać badany problem w terminach probabilistycznych i stosować podstawowe techniki rachunku prawdopodobieństwa do rozwiązywania problemów ekonomicznych (z teorii ubezpieczeń, finansów, mikroekonomii. demografii);
potrafi zaimplementować prosty eksperyment, zinterpretować wyniki uzyskane podczas modelowania zjawisk ekonomicznych i wyciągać wnioski; potrafi działać logicznie i precyzyjnie.
W ZAKRESIE KOMPETENCJI:
wykazuje się odpowiedzialnością i samokontrolą poprzez doświadczenie pracy zarówno w warunkach kontrolowanej jaki i niekontrolowanej samodzielności, przy szerokim wyborze dostępnych sposobów nabywania wiedzy;
jest gotów do systematycznej pracy m.in. dzięki formule kursu moodle i wymaganiom stawianym podczas ćwiczeń.
Kryteria oceniania
Uzyskanie zaliczenia przedmiotu wymaga spełnienia łącznie następujących warunków:
1. Obecności na ćwiczeniach (dopuszczalne dwie nieobecności w semestrze)
2. Zaliczenia ćwiczeń. Podstawą zaliczenia ćwiczeń jest:
a. Kolokwium (rozwiązywanie zadań + pytania teoretyczne, pisemne, 50p)
b. 10 quizów na platformie moodle (łącznie 30p, po 3p za quiz)
c. Prezentacja rozwiązania przydzielonego zadania na zajęciach (10p)
d. Aktywność na zajęciach, polegająca w szczególności na rozwiązywaniu zadań przy tablicy oraz udziale w dyskusji (10p).
Aby uzyskać zaliczenie ćwiczeń, należy uzyskać łącznie co najmniej 50% punktów możliwych do zdobycia.
3. Uzyskania co najmniej 40% punktów z egzaminu końcowego (rozwiązywanie zadań + pytania teoretyczne).
4. Uzyskania co najmniej 50% ze średniej ważonej wyniku punktowego z ćwiczeń (waga 40%) oraz egzaminu (waga 60%).
Skala ocen:
[0%-50%) – ndst
[50%-60%) – dst
[60%-70%) – dst+
[70%-80%) – db
[80%-90%) – db+
[90%-100%] – bdb
Literatura
Skrypt przedmiotu (obowiązkowy):
R. Adamczak i A. Osękowski, Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa WNE, (2012), udostępniany na platformie moodle
Literatura obowiązkowa:
J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego. Wyd. II, SCRIPT, Warszawa 2002.
Literatura dodatkowa (w języku polskim):
W. Niemiro, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna. Szkoła Nauk Ścisłych, Warszawa 1999 (wybrane rozdziały)
Literatura dodatkowa (w języku angielskim):
C.M. Grinstead, J. L. Snell, Introduction to Probability, 2006
wersja online (GNU license) https://math.dartmouth.edu/~prob/prob/prob.pdf (wybrane rozdziały)
S.M. Ross, Introduction to Probability Models, Academic Press, 2019 (wybrane rozdziały)
D. Wackerly, W. Mendenhall, i R. Scheaffer. Mathematical statistics with applications,
Thomson Brooks/Cole, 2008 (wybrane rozdziały)
Uwagi
|
W cyklu 2026Z:
Oprogramowanie |