Analiza matematyczna II 2400-L1PPAM2
1. Przypomnienie rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej. Nierówność Jensena w kontekście analizy funkcji użyteczności i jej awersji do ryzyka. (1 wykład)
2. Geometria wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej. (1 wykład)
3. Granice ciągów i funkcji n-wymiarowych. (1 wykład)
4. Teoria różniczkowania funkcji wielu zmiennych: pochodna kierunkowa, pochodna cząstkowa, gradient i różniczka Frécheta. Twierdzenie o gradiencie wyznaczającym kierunek najszybszego wzrostu funkcji. (2 wykłady)
5. Twierdzenie o przyrostach, warunki konieczne na różniczkowalność, warunek istnienia i ciągłości pochodnych cząstkowych jako warunek wystarczający, twierdzenia o różniczce złożenia i odwzorowania odwrotnego, pojęcie macierzy Jacobiego i macierzy Hessego. (2 wykłady)
6. Twierdzenie Fermata, punkty krytyczne i metoda wyznaczania ekstremów globalnych. (1 wykład)
7. Kryterium Sylvestera pozwalające rozstrzygać określoność formy kwadratowej wyznaczonej przez macierz Hessego, a także jego zastosowanie do znajdowania ekstremów lokalnych i punktów siodłowych funkcji wielu zmiennych. (1 wykład)
8. Dyfeomorfizmy, rozmaitości, wyznaczanie przestrzeni stycznych i normalnych, twierdzenie o funkcji uwikłanej. (1 wykład)
9. Twierdzenie Lagrange’a o ekstremach warunkowych. Przykłady wykorzystania mnożników Lagrange’a. (1 wykład)
10. Zastosowania całki Riemanna, w tym zastosowanie do obliczania długości krzywych oraz pól powierzchni i objętości brył obrotowych. Całki wielokrotne, metody ich obliczania, w tym twierdzenie o zamianie zmiennych.
Szacunkowy nakład pracy studenta:
Typ aktywności K (kontaktowe) S (samodzielne)
wykład (zajęcia) 28 0
ćwiczenia (zajęcia) 28 0
egzamin 3 0
konsultacje 8 0
przygotowanie do ćwiczeń 0 14
przygotowanie do wykładów 0 14
przygotowanie do kolokwium 0 0
przygotowanie do egzaminu 0 25
"praktyczne obliczenia
w środowisku Octave/MATLAB" 0 5
Razem 67 58 = 125
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
● Potrafi przeprowadzić badanie przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej, w tym zbadać jej wypukłość/wklęsłość.
● Potrafi zastosować nierówność Jensena do wyprowadzania oszacowań i nierówności; odnajduje funkcje wypukłe/wklęsłe w zagadnieniach optymalizacyjnych.
● Potrafi obliczać granicę ciągów o wyrazach w przestrzeni euklidesowej, iloczyn skalarny i normy wektorów, badać istnienie i obliczać granice funkcji wielu zmiennych określonych na podzbiorach przestrzeni euklidesowej.
● Potrafi obliczać pochodną kierunkową, cząstkową; rozumie interpretację geometryczną gradientu funkcji skalarnej.
● Potrafi wyznaczać ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych z użyciem twierdzenia Fermata.
● Potrafi badać różniczkowalność funkcji wielu zmiennych, wyznaczać macierz Jacobiego i Hessego, stosować regułę łańcuchową, twierdzenie o różniczce złożenia i twierdzenie o różniczce odwzorowania odwrotnego.
● Potrafi zastosować kryterium Sylvestera i klasyfikować punkty krytycznej funkcji wielu zmiennych zmiennej.
● Potrafi wyznaczać przestrzenie styczne i normalne do rozmaitości zanurzonych w przestrzeni euklidesowej.
● Potrafi zastosować twierdzenie o funkcji uwikłanej do zbadania własności funkcji zadanych implicite.
● Potrafi modelować zagadnienia optymalizacyjne sprowadzając je do zadania wyznaczenia ekstremum warunkowego. Umie zastosować metodę mnożników Lagrange’a do rozwiązania zadania optymalizacyjnego.
● Oblicza całki wielokrotne po obszarach normalnych; potrafi zastosować twierdzenie o zamianie zmiennych, w szczególności z użyciem podstawienia biegunowego i sferycznego.
Kryteria oceniania
Na ocenę końcową składa się ocena z ćwiczeń (20%) i egzaminu końcowego (80%). Punkty z ćwiczeń przyznawane są z kartkówek i aktywności.
Literatura
Literatura podstawowa:
M. Krych Analiza matematyczna dla ekonomistów, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2009
Literatura uzupełniająca:
R. Antoniewicz, A. Misztal, Matematyka dla studentów ekonomii. Wykłady z ćwiczeniami, WN PWN, Warszawa 2009.
J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 2006.
T. Bażańska, I. Karwacka, M. Nykowska, Zadania z matematyki, podręcznik dla studiów ekonomicznych, PWN, Warszawa 1980.
Alpha C. Chiang, Podstawy ekonomii matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1994.
W. Dubnicki, J. Kłopotowski, T. Szapiro, Analiza Matematyczna. Podręcznik dla ekonomistów, WN PWN, Warszawa 2010.
W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, część 1, 2 i 3, WN PWN, Warszawa 2005.
W. Kołodziej, Analiza matematyczna, WN PWN, Warszawa 2009.
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, WN PWN, Warszawa 2008.
K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, WN PWN, Warszawa 2008.
W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, WN PWN, Warszawa 2009
.A. Ostoja-Ostaszewski, Matematyka w ekonomii. Modele i metody, t. 1 i 2, PWN, Warszawa 1996.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: