Teoria spektralna operatorów 1120-672

Wykład monograficzny - uzupełnienie wykładu kursowego z analizy w aspekcie metod przestrzeni Hilberta, ze szczególnym uwzględnieniem teorii operatorów. Przeznaczony dla studentów od II roku. Celem jest wprowadzenie podstawowych struktur matematycznych leżących u podstaw algebraicznego opisu mechaniki kwantowej. Uzupełnieniem wykładu będą ćwiczenia.

Program:
1. Elementy analizy funkcjonalnej - przestrzenie Banacha.
2. Przestrzeń Hilberta i jej geometria.
3. Operatory ograniczone i nieograniczone, ważne klasy operatorów ograniczonych.
4. Teoria spektralna operatorów normalnych oraz samosprzężonych - rachunek funkcji ciągłych. Elementy teorii C*-algebr.
5. Teoria spektralna operatorów normalnych oraz samosprzężonych - rachunek funkcji mierzalnych. Algebry von Neumanna - elementy teorii Tomity-Takesakiego.
6. Algebraiczne podstawy mechaniki kwantowej.
7. Reprezentacje kanonicznych reguł komutacyjnych (CCR) i antykomutacyjnych (CAR), przestrzeń Focka.

Zajęcia wymagane do zaliczenia przed wykładem:
Znajomość analizy matematycznej w zakresie trzy-semestralnego wykładu, w zasadzie w wersji ``C'' i algebry liniowej.

Forma zaliczenia:

Koniecznym i wystarczającym warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest umiejętność rozwiązywania zadań (tzn. o tej samej tematyce i stopniu trudności ) jak zadania omawiane na ćwiczeniach - przewidywane są dwa kolokwia (po jednym w każdym semestrze).

Wymagania egzaminacyjne: znajomość i zrozumienie definicji, twierdzeń i przykładów - ocena dostateczna. Na ocenę dobrą wymagana jest dodatkowo umiejętność dowodzenia niektórych (wybranych przez studenta) twierdzeń, zaś na ocenę bardzo dobrą - całość
materiału prezentowanego na wykładzie.
Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Wszyscy uczestnicy są dopuszczeni do egzaminu pisemnego (dla osób, które nie zaliczyły ćwiczeń jest on traktowany jak kolokwium zaliczające ćwiczenia). Do części ustnej dopuszczeni są tylko studenci, którzy zaliczyli ćwiczenia.

Opis przygotował Wiesław Pusz, maj 2007