Metody matematyczne fizyki (c) - Nieograniczone operatory na przestrzeniach Hilberta 1120-206-06

Program:
1. Przestrzenie pre-hilbertowskie. Nierówność Schwarza i nierówność trójkąta.
2. Prostopadłość i twierdzenie Pitagorasa.
3. Układy ortonormalne i bazy ortonormalne w przestrzeniach Hilberta. Istnienie baz ortonormalnych
4. Dopełnienie ortogonalne i rozkład ortogonalny.
5. Funkcjonały liniowe ciągłe.
6. Ograniczone operatory działające z jednej przestrzeni Hilberta do drugiej. Operator sprzężony
7. Rzuty, operatory unitarne, samosprzężone i normalne.
8. B(H) jako C*-algebra.
9. Operatory odwracalne. Podstawowe własności odwzorowania: a --> → a^-1.
10. Widmo operatora ograniczonego. Zwartość i niepustość widma. Promień spektralny.
11. Rachunek funkcji holomorficznych dla operatorów ograniczonych.
12. Widma rzutów i operatorów unitarnych i samosprzężonych.
13. Rachunek funkcji ciągłych dla operatorów samosprzężonych (ograniczonych).
14. Operatory dodatnie i ich widma.
15. Operatory nieograniczone i ich wykresy. Twierdzenie o wykresie domkniętym. Kiedy podprzestrzeń w H + H jest wykresem?
16. Widmo operatora nieograniczonego. Zwartość i niepustość widma.
17. Operacje algebraiczne na operatorach nieograniczonych.
18. Operator sprzężony i jego wykres. Symetryczne, samosprzężone i normalne operatory.
19. Własności T*T, gdzie T jest domkniętym operatorem.
20. z-transformata operatora domkniętego. Kiedy operator ograniczony jest z transformatą.
21. z-transformata operatora sprzężonego.
22. Zawieranie operatorów w terminach z-transformaty. z-transformata operatorów
symetrycznych.
23. Rozkład biegunowy operatorów domkniętych.
24. Rachunek funkcji ciągłych dla operatorów samosprzężonych nieograniczonych.
25. Dziedziny i ciągłe funkcje operatorowe.
26. Jednoparametrowe grupy operatorów unitarnych. Generatory infinitezymalne i analityczne.
27. Transformata Caley'a operatorów symetrycznych. Indeksy defektu. Samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych.
27. Dodatnie samosprzężone rozszerzenia operatorów dodatnich. Rozszerzenia Kreina i Friedrichsa.
28. Porządek w zbiorze operatorów samosprzężonych dodatnich. Minimalne i maksymalne dodatnie samosprzężone rozszerzenia operatorów dodatnich.

Zajęcia wymagane do zaliczenia przed wykładem:
Analiza Matematyczna B lub C,
Algebra B lub C

Warunki zaliczenia: Egzamin ustny i pisemny.
Koniecznym i wystarczającym warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest umiejętność rozwiązywania zadań takich (tzn. o tej samej tematyce i stopniu trudności) jak zadania omawiane na ćwiczeniach. Wymagania egzaminacyjne: znajomość i zrozumienie definicji, przykładów i twierdzeń - ocena dostateczna. Na ocenę dobra wymagana jest podanie dowodów niektórych (wybranych przez studenta) twierdzeń, na bardzo dobra całość materiału prezentowanego na wykładzie. Niepomyślny przebieg egzaminu pisemnego powoduje istotne obniżenie oceny.