Zasady wariacyjne w fizyce: historia, teoria i zastosowania 1100-ZWF
Od czasu P.L.Maupertuis'a wiemy, że równania dynamiki układów fizycznych są -- w licznych przypadkach -- równoważne pewnej "zasadzie najmniejszego działania". Prosta obserwacja Maupertuis'a, dotycząca równań Newtona cząstki poruszającej się w polu sił potencjalnych, została uogólniona na wiele innych układów fizycznych, w szczególności na teorię pola, i otrzymała potem solidne podstawy matematyczne. Jej współczesna wersja -- zasada Hamiltona -- jest uznana za jedno z fundamentalnych praw fizyki. Gdy odkrywamy jakieś nowe pola czy cząstki, to próbę opisania ich dynamiki rozpoczynamy zawsze od poszukiwania odpowiedniego "Lagrangianu", z którego powinna wynikać ta dynamika.
Maupertuis traktował swoją obserwację jako potwierdzenie optymistycznej filozofii G.W.Leibniz'a, tak bardzo wyszydzonej przez Voltaira w jego powieści "Candide". Złośliwie można byłoby streścić tę filozofię następująco: Żyjemy w najlepszym z możliwych światów, bo natura "optymalizuje" działanie! Tak jednak nie jest: w problemach dynamicznych działanie nigdy nie osiąga ekstremum a jedynie punkt stacjonarny (np. pewna metoda wykorzystania "całek po trajektoriach" w mechanice kwantowej została nazwana metodą "fazy stacjonarnej" a nie -- jak zapewne chciałby Maupertuis -- "fazy minimalnej").
Z drugiej strony istnieje ważny dział matematyki -- rachunek wariacyjny -- dotyczący prawdziwego minimalizowania różnych ważnych funkcjonałów. Ma on ogromne zastosowanie w mechanice, ekonomii, logistyce a nawet organizacji transportu publicznego.
Różnica między fizycznymi zasadami wariacyjnymi a prawdziwym rachunkiem wariacyjnym nie polega tylko na tym, czy szukamy punktu stacjonarnego czy też prawdziwego minimum, ale jest dużo poważniejsza. Stosowanie narzędzi wypracowanych w matematycznym "rachunku wariacyjnym" do fizycznych "zasad wariacyjnych" prowadzi do bolesnych paradoksów. W niniejszym wykładzie pokażę jak uniknąć tych paradoksów.
Pokażę również kilka nieznanych powszechnie a ważnych fizycznie zasad wariacyjnych (np. zasadę wariacyjną opisującą ruch cząstki podlegającej tarciu) oraz omówię szczegółowo zasadę Noether i jej różne implikacje. Poświęcę sporo czasu zasadom wariacyjnym w teorii grawitacji pokażę jak wyglądałaby współczesna teoria grawitacji, gdyby Albert Einstein nie porzucił ok. roku 1910 pewnego swojego znakomitego pomysłu.
Kierunek podstawowy MISMaP
matematyka
Koordynatorzy przedmiotu
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (opisowo)
Efekty uczenia się
1. Znajomość prostych struktur geometrycznych umożliwiajacych zapisywanie równań mechaniki i teorii pola w dowolnym – niekoniecznie kartezjańskim – układzie współrzędnych.
2. Znajomość prostych elementów analizy funkcjonalnej, umożliwiająca analizę własności ewolucji prostych modeli teorii pola a także pozwalająca uniknąć pewnych – dość częstych – błędów i paradoksów.
3. Nabycie podstawowych umiejętności w zakresie rozpoznawania istotnych, matematycznych własności obiektów, pojawiających się w naturalny sposób w teorii pola, a także w mechanice kwantowej.
Kryteria oceniania
Stopień opanowania materiału będzie oceniany na podstawie zadań domowych oraz egzaminu pisemnego, a także egzaminu ustnego, na którym słuchacz będzie mógł pokazać, że rozumie omawiane struktury matematyczne w kontekście ich zastosowania w fizyce.
Praktyki zawodowe
Brak.
Literatura
1. J. Kijowski, Geometria różniczkowa jako narzędzie nauk przyrodniczych, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa (2015)
2. K. Maurin, Analiza, PWN Warszawa.
3. K. Maurin, Methods of Hilbert Spaces, PWN Warszawa (1972). Originalna, polska wersja: Metody Przestrzeni Hilberta, PWN Warszawa (1959)
4. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press (1971).Wersja polska: Mechanika, PWN Warszawa (2006)
5. C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman and Company, San Francisco (1973); tylko wybrane rozdziały.