Wprowadzenie do fizyki złożoności. Fizyka statystyczna sieci złożonych 1100-WFZ-OG

Nie ma przesady w stwierdzeniu, że sieci złożone (bo tylko o takich jest tutaj mowa) decydują już dzisiaj o losach naszej planety. Zdajemy sobie sprawę jak wielki wpływ na nasze codzienne życie mogą mieć potężne awarie sieci energetycznych (np. jako wynik błędnego funkcjonowania oprogramowania sieci komputerowych) czy też lawiny bankructw banków (o różnym stopniu kapitalizacji wywołane ich niewypłacalnością związaną np. z załamaniem się różnorakich rynków). Widzimy jak wielką rolę odgrywają w naszym życiu sieci handlowe, komunikacyjne i telekomunikacyjne a w tym zwłaszcza internet prowadzący przecież do prawdziwej erupcji możliwości propagowania się idei, transferu wiedzy i technologii. Wszystko to, wykształcając sieci społeczne na niespotykaną w historii ludzkości skalę, w krytyczny sposób zmieniło i nadal zmienia nasze codzienne życie.

Oczywiście, sieci nie tylko otaczają nas ale także istnieją w nas. Na przykład, nasz mózg funkcjonuje m.in. dzięki sieci złożonej z gigantycznej liczby neuronów połączonych synapsami (o różnym stopniu aktywności). Dzięki sieci powiązań międzygenowych komórki naszego ciała potrafią się różnicować w stopniu umożliwiającym pełnienie nawet bardzo odmiennych funkcji, np. takich jakie pełnią układy kostny, mięśniowy, krwionośny czy też nerwowy.

Nie ulega wątpliwości, że wspomniane powyżej sieci mają charakter złożony (wieloobiektowy, wielopoziomowy a w tym wieloskalowy). Skutkuje to nową metodologią badawczą, nowymi metodami i technikami badawczymi. Zostaną one w sposób systematyczny i przystępny przedstawione w niniejszym wykładzie.

Można powiedzieć, że sieci złożone wprowadziły i wciąż wprowadzają do naszego życia nową jakość, dowodząc tym samym, że mają charakter emergentny. Burzliwy rozwój nauki o złożoności w obecnym stuleciu związany jest także z takim pojęciem jak synergia, czyli współdziałanie (kooperacja).

Pojęcie synergii zostało wprowadzone do nauk matematyczno-przyrodniczych i społeczno-ekonomicznych przez Hermanna Hakena już w latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku. W fizyce znakomitym przykładem synergii może być dynamiczna przemiana fazowa prowadząca do akcji laserowej. Dopiero wzbudzenie odpowiednio dużej liczby atomów (powyżej pewnego charakterystycznego progu) prowadzi do ich synergii (kooperacji), co skutkuje emisją koherentnej wiązki laserowej.

Możliwość przeniesienia pojęcia synergii z nauk matematyczno-przyrodniczych na grunt socjofizyki opiera się na traktowaniu pojedynczych atomów gazu jak członków społeczności wzajemnie oddziałujących i podlegających zewnętrznym wpływom (polu informacji). Dopiero zajęcie przez określoną, progową (na ogół stosunkowo niewielką ale wystarczającą) liczbę członków tej wspólnoty jednakowego stanowiska w jakiejś sprawie prowadzi do koherentnego działania całej wspólnoty. Widać tutaj unifikujący charakter pojęcia synergii, co tym samym otwiera możliwość wykorzystywania modeli fizycznych na gruncie socjologicznym a w tym zwłaszcza możliwość przechodzenia od modelowania na poziomie mikroskopowym, uwzględniającym indywidualny charakter obiektów, do modelowania na poziomie makroskopowym (globalnym), traktującym układ całościowo. Można powiedzieć, że bez synergii nie byłoby złożoności a bez złożoności emergentności, której różnorodne przejawy są tak fascynującym obiektem badań.

Niniejszy, jednosemestralny wykład stanowi wprowadzenie do interdyscyplinarnej i wielokierunkowej, dynamicznie rozwijającej się dziedziny jaką jest złożoność. Dziedzina złożoności rozwija się szczególnie burzliwie w ostatniej dekadzie, i to zarówno na poziomie podstawowym jak i aplikacyjnym, przy czym sieci złożone są tego prominentnym przykładem.

Złożoność stara się ująć zjawiska i procesy fizyczne, biofizyczne, biomedyczne, geofizyczne, ekologiczne, socjologiczne, ekonomiczne, itp. w sposób ujednolicony, chociaż (ze względów technicznych i poglądowych) stosowane jest tutaj podejście wielokierunkowe, umożliwiające łatwiejsze zrozumienie.

Niniejszy wykład, należąc do kategorii wykładów ogólnouniwersyteckich, ma charakter monograficzny. Jest dedykowany studentom i doktorantom wydziałów matematyczno-przyrodniczych a także socjologicznych i ekonomicznych. Do zrozumienia wykładu wymagana jest jedynie elementarna wiedza z zakresu algebry, analizy matematycznej oraz rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej (a w tym z teorii procesów stochastycznych). Wielce przydatne wybrane aspekty teorii grafów oraz wybrane elementy fizyki (a w tym termodynamiki) statystycznej a zwłaszcza teorii przemian fazowych, fizyki nieliniowej oraz symulacji numerycznych, będą wprowadzane stopniowo tak, aby umożliwić zrozumienie wykładu słuchaczom spoza Wydziału Fizyki.

Należy zaznaczyć, że ze względu na swoją interdyscyplinarność i wielokierunkowość niniejszy wykład ma charakter unikalny w skali Uniwersytetu.

Ramowy program wykładu

I. Operacyjna definicja złożoności – podejście holistyczne
I. 1. Narodziny złożoności
I. 2. Złożoność jako nowy paradygmat
I. 3. Sygnatury złożoności
I. 4. Złożoność a uniwersalna maszyna Turinga
I. 5. Synergia, koherencje, złożoność, emergentność
I. 6. Emergentność złożoności a strzałka czasu
I. 7. Rola symulacji komputerowych

II. Podstawowe elementy teorii grafów (niezbędne w
analizie sieci rzeczywistych)
II. 1. Rozkład stopni wierzchołków
II. 2. Współczynnik gronowania
II. 3. Sieci małych światów
II. 4. Miary centralności
II. 5. Korelacje, skalowanie i modularność w
sieciach złożonych

III. Prawa potęgowe
III. 1. Rozkłady potęgowe
III. 2. Przemiany fazowe, zjawiska krytyczne,
renormalizacja, elementy teorii katastrof,
fraktale i sieci fraktalne, multifraktalność,
zjawiska perkolacyjne na sieciach złożonych
III. 3. Formalizm hamiltonowski termodynamiki dla
sieci złożonych

IV. Kanoniczne modele sieci złożonych

V. Klasyfikacja sieci złożonych:
- sieci statyczne
- sieci ewoluujące
- sieci deterministyczne
- sieci przypadkowe

VI. Przykłady rzeczywistych sieci złożonych
VI. 1. Struktura, topologia i dynamika sieci społecznych
VI. 2. Defektowanie sieci złożonych (np. poprzez ataki
terrorystyczne)
VI. 3. Epidemie w sieciach złożonych
VI. 4. Sieci biologiczne