Mechanika geometryczna II - teoria pola 1100-MGTP

Kurs przedstawia geometryczne podstawy klasycznych i współczesnych teorii pola, ze szczególnym uwzględnieniem struktur multisymplektycznych, formalizmów
k-symplektycznych i k-kontaktowych oraz roli groupoidów i algebroidów Liego. Każdy
rozdział ilustrowany jest wybranymi modelami fizycznymi.
Rozdział I (6h) — Wiązki wektorowe, główne i związane Wiązki wektorowe jako przestrzenie konfiguracji pola. Wiązki główne i wiązki stowarzyszone. Połączenia, krzywizna i holonomia. Interpretacja pól jako przekrojów wiązek. Elektromagnetyzm jako teoria połączeń na wiązce głównej U(1). Modele
Yang–Mills. Pola spinorowe na wiązkach stowarzyszonych.
Rozdział II (5h) — Groupoidy i algebroidy Liego
Definicja groupoidu Liego. Algebroid Liego. Morfizmy algebroidów. Redukcja przez
symetrię. Struktury relatywne. Symetrie cechowania, redukcja teorii pola, modele z
więzami.
Rozdział III (7h) — Formalizm wariacyjny teorii pola
Wiązki dżetów pierwszego i wyższych rzędów. Zasada Hamiltona. Równania
Eulera–Lagrange’a. Forma Poincaré–Cartana. Teorie wyższego rzędu. Równanie falowe,
pole skalarne, sprężystość, belka Eulera–Bernoulliego.
Rozdział IV (5h) — Geometria wielosymplektyczna
Rozmaitości multisymplektyczne. Równania Hamiltona–De Dondera–Weyla.
Kowariantny opis dynamiki pola. Pole skalarne, elektromagnetyzm, modele sigma,
prądy Noethera.
Rozdział V (4h) — Formalizm k-symplektyczny
Struktury k-symplektyczne. Równania HDW. Symetrie i odwzorowanie momentu.
Modele (3+1), formalizmy wieloczasowe, mechanika kontinuum, redukcje.
Rozdział VI (3h) — Formalizm k-kontaktowy
Uogólnienie geometrii kontaktowej. Układy dysypacyjne. Tłumienie liniowe, gradient
flows, równania reakcyjno-dyfuzyjne.