Student proseminar on “Methods of Higher Algebra and Geometry in Physics” 1100-5sMHA

Proseminarium będzie poświęcone dyskusji zastosowań metod wyższej algebry oraz wyższej geometrii w matematycznie rygorystycznym i kwantowomechanicznie spójnym modelowaniu dynamiki obiektów zwartych (cząstek punktowych, pętli, membran itp.) oraz pól nad czasoprzestrzenią w obecności ładunku topologicznego, w opisie symetrii tejże dynamiki i jej cechowania. Przedmiotem rozważań szczegółowych będą niskowymiarowe modele sigma dynamiki geodezyjnej rozciągłych rozkładów energii i ładunku w zewnętrznym polu grawitacyjnym zaburzonej przez geometryczne sprzężenie typu Wessa-Zumino zewnętrznego pola p-formy (uogólniającego pole elektromagnetyczne) do ładunku topologicznego, np. model Wessa-Zumino-Wittena dwuwymiarowej wymiernej konforemnej teorii pola na zwartej grupie Liego, jak również – modele topologicznej teorii pola z symetrią cechowania, np. trójwymiarowa teoria Cherna-Simonsa. Zostaną omówione podstawowe konstrukcje niezbędne do ścisłego sformułowania takich modeli w reżymie klasycznym, identyfikacji ich symetrii oraz cechowania tych ostatnich w uniwersalnym schemacie wykraczającym istotnie poza schemat sprzężenia minimalnego, a także – ich geometrycznego wzgl. funktorialnego kwantowania poprzez tzw. transgresję kohomologiczną uzgodnioną z symetriami, tj. w istocie poprzez konkretną realizację programu Diraca. Omówione też zostaną dualności w przestrzeni modułów tego typu teorii i odpowiadające im wyżej-geometryczne oraz -kategorialne obiekty. Wszystkie te rozważania zostaną wpisane w szeroki kontekst teorii pola z defektami i określą punkt wyjścia do dyskusji tzw. emergentnej geometrii modeli sigma, w tym – jej postaci nieprzemiennej oraz fazy nie-riemannowskiej (tzw. T-foldy). Narzędzia i konstrukcje kohomologiczne i teoriokategorialne znajdą też zastosowanie w klasyfikacji nierównoważnych teorii opisanego typu, jak również – obstrukcji wobec cechowania ich symetrii sztywnych i klasyfikacji cechowań nierównoważnych. Rozważania, prowadzone pierwotnie w kategorii geometrycznej bez gradacji, zostaną następnie przeniesione do kategorii supergeometrycznej z użyciem wprowadzonych wcześniej elementów teorii snopów, co pozwoli m.in. wyjaśnić strukturę klasycznych modeli teorii pola o statystyce Fermiego-Diraca. Włączenie do zakresu tych rozważań supersymetrii, na gruncie wprowadzonego uprzednio pojęcia supergrupy Liego i jej przestrzeni jednorodnej, pozwoli na dyskusję szerokiej klasy modeli teoriopolowych o statystyce mieszanej w równowadze, a zarazem – po stronie wyżej-kohomologicznej i -geometrycznej – uwypukli rolę kohomologii niezmienniczych oraz kohomologii superalgebr Liego.

Plan proseminarium:

1. Dynamika w topologicznie nietrywialnych zewnętrznych polach p-form – potrzeba i konsekwencje konstrukcji wyżej-geometrycznych (wiązki liniowe, wiechcie wiązek etc.)
2. Elementy algebry homologicznej: kompleksy (ko)łańcuchów i ich kohomologie, kohomologia snopowa, dwoistości kohomologiczne, hiperkohomologie w opisie wiązek i wiechci wiązek ze strukturą konektywną.
3. Elementy teorii (wyższych) kategorii.
4. Transgresja kohomologiczna a (pre)kwantowanie geometryczne. Zastosowania charakterów różniczkowych Cheegera-Simonsa.
5. Symetrie sztywne geometrodynamiki w modelach sigma i ich cechowanie poza schematem sprzężenia minimalnego.
6. Kohomologia ekwiwariantna w opisie cechowania symetrii i jej geometryzacje oraz implementacja cechowania poprzez sieci defektów czasoprzestrzennych. Znaczenie struktur algebroidalnych i grupoidalnych stowarzyszonych z działaniem grupy symetrii sztywnych w procedurze cechowania i kwantyfikacji obstrukcji (anomalii cechowania).
7. Odpowiedniość między defektami niskowymiarowych teorii pola i ich dualnościami. Defekty symetryczne i topologiczne.
8. Nie-riemannowska geometria emergentna (T-foldy) – obraz wyżej-geometryczny i implementacja w postaci sieci defektów.
9. Supergeometria różniczkowa w opisie snopowym i funktorialnym (sformułowanie Berezina-Leitesa-Kostanta) oraz w języku wiązek wektorowych (sformułowanie De Witta-Rogers).
10. Superalgebry Liego. Supergrupy w opisie snopowym i w sformułowaniu Kostanta (pary super-Harish-Chandra) oraz ich stycznościowe superalgebry Liego. Supergeometrie z działaniem supergrup, w tym: przestrzenie jednorodne.
11. Kohomologia niezmiennicza i jej interpretacja topologiczna Rabina-Crane'a. Kohomologia (super)algebr Liego (w tym: Cartana-Eilenberga) i naturalne supergeometryzacje jej klas. Związek z wyższymi supergrupami Liego.
12. Elementy teorii algebr Clifforda i wiązek spinorowych (z działaniem wiązek Clifforda), z uwzględnieniem kohomologicznej klasyfikacji obstrukcji wobec ich istnienia (klasy Stieffela-Whitneya).
13. Funktorialne modele dynamik o kowariantnych wiązkach konfiguracyjnych z Z/2Z-gradacją.
14. Super-modele sigma, ich wyższa supergeometria i defekty supersymetryczne.