Metody numeryczne i oprogramowanie w mechanice ośrodków ciągłych 1100-3GG21

Fizyka oparta jest o równania różniczkowe a głównym zastosowaniem komputerów w fizyce jest ich rozwiązywanie. Obecne komputery i metody numeryczne dają możliwość rozwiązania tych równań w wielu przypadkach, gdzie zawodzą metody analityczne. Obecnie często podstawą badań jest numeryczne modelowanie zjawisk fizycznych. Uzupełniają to modele eksperymentalne. Celem kursu jest wprowadzenie do metod modelowania, w szczególności do rozwiązywania równań różniczkowych stosowanych w mechanice ośrodków ciągłych i w naukach o Ziemi, zapoznanie się z wybranymi gotowymi profesjonalnymi pakietami służącymi do tego celu oraz umiejętność powiązanie modeli numerycznych z modelami laboratoryjnymi i obserwacjami.
Wykład: (30 godz)
1. Podstawowe właściwości równań różniczkowych stosowanych w mechanice ośrodków ciągłych. Przykłady zjawisk i rozwiązań. Stabilne i niestabilne rozwiązania.
2. Metody numerycznego rozwiązywania równań zwyczajnych, metoda Runge-Kutte’a. Zastosowanie do modelowania zjawisk w Układzie Słonecznym.
3. Metoda różnic skończonych dla wybranych równań różniczkowych cząstkowych.
a. Problem aproksymacji. Aproksymacja pochodnych schematami różnicowymi, rząd aproksymacji, aproksymacja przy brzegu. Stabilność numeryczna schematu różnicowego i jego zbieżność. Warunki stabilności. Wybrane metody rozwiązywania wielkich układów liniowych o rzadkiej macierzy. Badania tych problemów na przykładzie wybranego układu równań.
b. Równania ruchu cieczy lepkiej i podstawy numerycznego ich rozwiązania. Przybliżenie O-B. Aproksymacja członów adwekcyjnych. Warunki stabilności numerycznej. Przykłady modelowania z wykorzystaniem napisanych własnoręcznie programów i gotowych pakietów.
c. Różne warianty metod różnic skończonych używane w MOC.
4. Metoda Galerkina dla równań MOC.
a. Idea metody Galerkina. Podstawowe metody oparte o nią (w szczególności Metoda Elementów Skończonych). Słaba postać równań.
b. Dyskretyzacja równań metodą Galerkina na wybranym przykładzie równania MOC. Problemy dopasowania do obszaru, uwzględnienie warunków brzegowych i początkowych.
c. Przykłady modelowania z wykorzystaniem napisanych własnoręcznie programów.
d. Przykłady gotowych pakietów numerycznych używanych w praktyce inżynierskiej i w naukach o Ziemi. Zasady wyboru metody i pakietu. Parametry modeli numerycznych, niestabilność i inne spotykane problemy.
5. Laboratoryjne modele zjawisk w ośrodkach ciągłych w zastosowaniu do problemów geologicznych. Teoria podobieństwa, liczby bezwymiarowe.
6. Powiązanie modeli numerycznych i laboratoryjnych. Współczesne metody określenia pól fizycznych podczas obserwacji zjawisk w OC:

Ćwiczenia: (30 godz)
W czasie ćwiczeń będzie pisane programy numeryczne do rozwiązywania równań, rozwiązywane problemy spotykane przy modelowaniu za pomocą wybranych gotowych pakietów i zapoznanie się z metodami badania problemów w laboratorium lub w naturze

Przygotowanie:
Potrzebna jest podstawowa wiedza o mechanice ośrodków ciągłych, w szczególności o mechanice cieczy i przewodnictwie cieplnym, np. materiał przedstawiony w kursie „Dynamika wnętrza Ziemi: metody i zastosowania” 1103-5’DWZ, zapoznanie się z tematyką
Potrzebne są też podstawowe umiejętności programowania w jakimś z popularnych języków (np. C, C++, Fortran, PL1, Python, i in.).