Geometria różniczkowa I 1100-2Ind05

Rozmaitości i formy różniczkowe
- Pojecie k-powierzchni zanurzonej. Definicja.
- Równoważny warunek na powierzchnie - przykład, dowód.
- k-parametryzacja, przykłady, krzywe,
- pojęcie rozmaitości różniczkowej,
- wektory styczne, przestrzeń styczna do rozmaitości (powierzchni) - własności, przykład.
- Działanie wektora stycznego na funkcje, wektory styczne jako operatory rózniczkowe.
- Ekstrema związane - warunek konieczny, wniosek.
- Warunek dostateczny na ekstremum związane.
- Transport wektorów. Odwzorowania styczne.
- Tw. o lokalnej odwracalności.
- Różniczka funkcji, 1-forma, wiązka kostyczna.
- Formy - definicja, iloczyn zewnętrzny, przykłady, łączność.
- Baza przestrzeni l-form, różniczkowanie funkcji - własności.
- Formy rózniczkowe - definicja, pochodna zewnętrzna i jej własności. Związek z grad,
rot, div.
- Cofniecie k-formy - własnosci, wzór z wyznacznikami.
- Zbiory ściągalne i gwiaździste. Lemat Poincar´e - dowód, przykład.
- Rozkład jedności.
- Zmiana parametryzacji. Wniosek (związek z parametryzacjami właściwymi).
- Orientacja - dla przestrzeni, dla powierzchni, przykład, zgodność z parametryzacja.
- Zgodny układ parametryzacji a orientowalnosc.
- Całka z formy po powierzchni - definicja, poprawność.
- Powierzchnie z brzegiem. Orientacja brzegu. Brzeg jako powierzchnia (zorientowana).
- Tw. Stokesa, przykłady.
- Tensor metryczny, forma objętości.
- Całka z funkcji po powierzchni - poprawność definicji, przykłady.
- Izomorfizmy na zorientowanej przestrzeni Riemanna, _ Hodge'a.
- Całki z form jako całki po powierzchni, tradycyjne wzory całkowe.
- Wzory analizy wektorowej, grad, div, rot.
- Tw. Stokesa dla pól wektorowych w R3. Przypadek R2.
o Pochodna Liego. Interpretacja geometryczna.
o Wiązki wektorowe, przykłady.
o Twierdzenie Frobeniusa.
o Transport równoległy, koneksja, pochodna kowariantna.
o Koneksja metryczna, koneksja Levi-Civity, torsja, krzywizna.

Forma zaliczenia: egzamin pisemny i ustny

Opis przygotował Jacek Jezierski, maj 2008