Zaawansowany rachunek wariacyjny 1000-1S26ZRW
Rachunek wariacyjny zajmuje się badaniem problemów ekstremalnych dla funkcjonałów, które pojawiają się w wielu modelach nauk przyrodniczych.
Należy on do centralnych dziedzin współczesnej analizy. Seminarium ma na celu przedstawienie kluczowych idei i narzędzi tej teorii w perspektywie aktualnych kierunków badawczych, ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Zajęcia są adresowane do studentów i doktorantów zainteresowanych włączeniem się w nowoczesną tematykę badawczą. Centralnym elementem programu będą teoria optymalnego transportu i potoki gradientowe w przestrzeniach miar, interpretujące problemy wariacyjne w ujęciu ewolucyjnym. Omawiane będą również wybrane zagadnienia z zakresu gamma-zbieżności, przestrzeni metrycznych, a także ich powiązania z analizą na rozmaitościach.
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Uczestnik
* rozumie podstawowe pojęcia rachunku wariacyjnego oraz ich rolę we współczesnej analizie matematycznej,
* zna podstawowe narzędzia teorii optymalnego transportu, potoków gradientowych oraz ich zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych,
* umie zreferować wyniki badań i wziąć udział w dyskusji na ich temat.
Kryteria oceniania
Uczestnik przedmiotu zobowiązany jest wygłosić dwie prezentacje w trakcie roku akademickiego i aktywnie uczestniczyć w dyskusjach.
Literatura
* W. Górny and J.M. Mazón, Weak Solutions to Gradient Flows in Metric Measure Spaces, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 235, Cambridge University Press, 2026.
* E. Giusti, Direct Methods in the Calculus of Variations, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003.
* F. Santambrogio. Optimal transport for applied mathematicians, volume 87 of Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. Birkhäuser/Springer, Cham, 2015. Calculus of variations, PDEs, and modeling.
* L. Ambrosio, E. Brué, and D. Semola. Lectures on optimal transport, volume 169 of Unitext. Springer, Cham, second edition, [2024] ©2024. La Matematica per il 3+2.
* L. Ambrosio, N. Gigli, and G. Savaré. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser, Basel, second edition, 2008.
* G. Dal Maso. An Introduction to Γ-Convergence. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 8. Birkhäuser, Boston, 1993.
* K.-T. Sturm. On the geometry of metric measure spaces. I & II. Acta Math., 196(1):65-131 & 133-177, 2006.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami: