Wybrane zagadnienia analizy geometrycznej 1000-1S25WZAG
Przedstawimy wybrane wątki i problemy analizy geometrycznej. Celem seminarium jest ukazanie piękna i związków między geometrią przestrzeni, funkcji i przekształceń a metodami analitycznymi. Uczestnicy seminarium zapoznają się z najnowszymi kierunkami badań w analizie
geometrycznej. W szczególności program przedmiotu będzie obejmował następujące zagadnienia:
(1) geometryczne własności rozwiązań równań i układów równań eliptycznych, w tym nierówności Harnacka, oszacowania norm gradientu, twierdzenia Liouville, twierdzenie o trzech okręgach (sferach), twierdzenia Phragmena--Lindelöfa, punkty krytyczne rozwiązań i ich struktura.
(2) funkcje p-harmoniczne i przekształcenia uogólniające funkcje analityczne w R2 , w tym przekształcenia harmoniczne, kwazikonforemne i kwaziregularne. Rola homeomorfizmów w analizie geometrycznej. Narzędzia badania przekształceń: niestyczne funkcje maksymalne,
wielokrotność przekształcenia, miary Carlesona, oszacowania energetyczne.
(3) elementy analizy na przestrzeniach metrycznych, różne pojęcia gradientu i przestrzeni typu Sobolewa. Przykłady przestrzeni metrycznych: rozmaitości riemannowskie, grupy Heisenberga.
(4) obszary w przestrzeniach metrycznych i ich geometria (głównie w Rn): obszary lipschitzowskie, Johna i jednostajne, NTA (non-tangentially accessible).
(5) Własności funkcji i przekształceń lipschitzowskich.
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Prezentacje tematów. Obecność na zajęciach i aktywne uczestnictwo.
Literatura
Literatura:
Hiroaki Aikawa, Potential analysis on nonsmooth domains—Martin boundary and bondary Harnack principle, artykuł dostępny na stronie autora.
Bogdan Bojarski, Tadeusz Iwaniec "Analytic foundations of the theory of Quasiconformal mappings in R^n" , Annales Academire Scientiarum Fennicre Series A. I. Mathematica Volumen 8, 1983, 257-324.
J. B. Garnett, Bounded analytic functions, Academic Press (New York), 1981.
Juha Heinonen "Lectures on analysis on metric spaces", Springer-Verlag, New York, 2001, x+140 pp.
Juha Heinonen, Tero Kilpeläinen, Olli Martio, Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations, Dover Publications, Inc., 2006
Juha Heinonen, Pekka Koskela, Nageswari Shanmugalingam, Jeremy Tyson, Sobolev spaces on metric measure spaces. An approach based on upper gradients,New Mathematical Monographs, 27. Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
Peter Lindqvist "Notes on the p-Laplace equation", artykuł dostępny na stronie autora.
Enrico Le Donne, Metric Lie Groups Carnot-Caratheodory spaces from the homogeneous viewpoint, arXiv:2410.07291v1.
Murray H. Protter, Hans F. Weinberger "Maximum Principles in Differential Equations",Springer-Verlag, New York, 1984, x+261 pp.
E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Math. Ser., No. 30, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970, xiv+290 pp.
Jussi Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 229. Springer–Verlag, Berlin–New York, 1971.
Matti Vuorinen, Conformal Geometry and Quasiregular Mappings. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1319. Springer, Berlin (1988).
Stanislav Hencl, Pekka Koskela, Lectures on Mappings of Finite Distortion, Lecture Notes in Mathematics, volume 2096, Springer-Verlag.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: