Przestrzenie klasyfikujące struktur algebraicznych 1000-1S25PKSA
Interakcja metod algebraicznych i geometrycznych/topologicznych, oparta na pojęciu przestrzeni klasyfikującej struktury (np. grupy), jest ważnym wątkiem matematyki przełomu XX/XXI wieku. Celem seminarium jest zapoznanie uczestników z klasycznymi konstrukcjami przestrzeni klasyfikujących grup dyskretnych i topologicznych oraz ich uogólnień na małe kategorie a także poznanie metod badania takich przestrzeni np. teoria klas charakterystycznych. Wiele problemów dotyczących teorii homotopii przestrzeni klasyfikujących pozostaje otwartych i będą przedstawione na seminarium. Zapoznamy się z metodami topologicznymi, które pozwoliły na lepsze zrozumienie programu
klasyfikacji skończonych grup prostych dzięki badaniu tzw. “p-fudsion systems”, czyli pewnych kategorii p-grup. Tematyka ta stanowi przedmiot aktualnych badań.
Poniżej orientacyjna lista tematów. Ostateczny program seminarium zostanie skrojony według zainteresowań i przygotowania zainteresowanych studentów.
* Podstawy teorii homotopii (przestrzenie nakrywające, grupy homotopii, przestrzenie Eilenberga MacLane’a)
* Przestrzenie klasyfikujące grup topologicznych, w szczególności klasycznych grup liniowych: różne konstrukcje.
* Funktorialne konstrukcje przestrzeni klasyfikujących grup.
* Zbiory symplicjalne i ich realizacje geometryczne.
* Przestrzenie klasyfikujące małych kategorii. Przykłady z algebry i topologii.
* Plus-konstrukcja i Q-konstrukcja Quillena w algebraicznej K-teorii
* Algebraiczne niezmienniki przestrzeni klasyfikujących (klasy charakterystyczne).
* Algebraiczne (ko-)homologie grup i małych kategorii.
* Kohomologie małych kategorii (w tym grup) jako funktory pochodne.
* Przestrzenie klasyfikujące w algebraicznej K-teorii.
* p-fusion system i problem klasyfikacji grup prostych
* Homotopijna klasyfikacja odwzorowań przestrzeni klasyfikujących w terminach algebraicznych.
Seminarium będzie się odbywać zapewne w wersji hybrydowej (spotkania transmitowane przez Zoom).
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Student
1. Docenia wagę interakcji metod algebraicznych i topologicznych; potrafi wskazać przykłady.
2. Potrafi wyszukiwać i analizować naukowe teksty matematyczne i na ich podstawie przygotować referat/ prezentację.
3. Umie przygotować konspekt referatu oraz prezentację referatu w formie slajdów.
4. Potrafi przedstawić treści matematyczne w sposób dostosowany do audytorium.
Literatura
Literatura
Aschbacher, M., Kessar, R., Oliver, B. Fusion Systems in Algebra and
Topology. LMS Lecture Note Series 391. Cambridge UP 2011. (online
https://www.math.univ-paris13.fr/~bobol/ako.pdf)
Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press 2002
(online https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf)
Husemoller, D., Fibre Bundles. Graduate Texts in Mathematics (GTM,
volume 20), Springer (online
https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/husemoller.pdf)
Jackowski, S. McClure, J. Oliver, B. _Homotopy theory of classifying
spaces of compact Lie groups,_ Algebraic Topology and its Applications.
81-123, MSRI Publications 27, Springer 1994 (online
https://www.math.univ-paris13.fr/~bobol/surv.pdf)
Segal, G. Categories and Spectral Sequences. Publ. Math. IHES 34 (online
https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/segalclass.pdf)
Weibel, Ch. A., K-Book. An Introduction to Algebraic K-Theory Graduate
Studies in Math. vol. 145, AMS, 2013 (online
https://sites.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html)
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: