Aksjomatyczna teoria mnogości 1000-1S07AT

Głównym celem seminarium będzie zaprezentowanie teorii mnogości jako teorii formalnej, stanowiącej z jednej strony aksjomatyczną podstawę całej matematyki, a z drugiej strony ? przedmiot badań logicznych dotyczących niesprzeczności jej fragmentów i rozszerzeń. Zależy nam zarówno na zrozumieniu roli standardowych aksjomatów w rozumowaniach matematycznych, jak i na przyjrzeniu się konsekwencjom dodatkowych aksjomatów.

Program minimum zakłada omówienie następujących zagadnień:

Aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla ZFC, zależności między nimi, modele dla (fragmentów) teorii mnogości, absolutność, tw. Goedla dla teorii ZFC i pokrewnych.
Hierarchie kumulatywne, zasada refleksji, klasa zbiorów ufundowanych WF, niezależność aksjomatu ufundowania od pozostałych aksjomatów.
Uniwersum konstruowalne L, aksjomat konstruowalności V=L, niesprzeczność Aksjomatu Wyboru AC i Uogólnionej Hipotezy Continuum GCH z ZF.
Aksjomat wyboru AC i jego słabsze wersje, matematyka bez AC, modele permutacyjne, niezależność AC od teorii mnogości bez aksjomatu ufundowania, paradoks Banacha-Tarskiego.
Wielkie liczby kardynalne, zależności między nimi, liczby mierzalne a elementarne włożenia, nieistnienie liczb mierzalnych w L.

Ponadto przewidujemy omówienie niektórych z poniższych tematów, w zależności od czasu i zainteresowań uczestników:

Bardziej zaawansowane elementy kombinatoryki nieskończonej: tw. Silvera, prosta i drzewo Suslina, zasada \diamond i zasady pokrewne, ich prawdziwość w L i ich konsekwencje.
Konsekwencje V=L lub aksjomatów wielkoliczbowych dla deskryptywnej teorii mnogości.
?Namacalne? konsekwencje aksjomatów ZFC i mocniejszych aksjomatów teoriomnogościowych (kombinatoryka skończona, kombinatoryczne własności liczb rzeczywistych).
Dodatkowe aksjomaty w teorii mnogości (np. Hipoteza Continuum CH, Aksjomat Martina MA, Aksjomat Własności Pokryciowej CPA, Aksjomat Otwartego Kolorowania OCA, Aksjomat Determinacji Rzutowej PD) i przykłady ich konsekwencji w topologii, teorii miary i analizie rzeczywistej.