Zasady wariacyjne mechaniki 1000-1M26ZWM
1. Zagadnienie wariacyjne. Pochodna wariacyjna. Równanie Eulera-Lagrange’a.
a) Definicja funkcjonału. Zagadnienie minimalizacji funkcjonału.
b) Pochodna Gâteaux, pochodna Frécheta.
c) Punkty stacjonarne funkcjonałów i wyprowadzenie równań Eulera-Lagrange’a.
d) Klasyczne problemy wariacyjne, np. brachistochrona, zagadnienie izoperymetryczne.
e) Bezpośrednia metoda rachunku wariacyjnego.
2. Zasady najmniejszego działania w mechanice klasycznej i relacje między nimi.
a) Definicja działania mechanicznego. Zasada Hamiltona.
b) Zasada Maupertuis i odwrotna zasada Maupertuis.
c) Analogia mechaniczno—optyczna. Zasada Fermata.
3. Metody wariacyjne mechaniki kwantowej.
a) Równanie Schrödingera jako równanie Eulera-Lagrange’a.
b) Stany związane, ich związek z rachunkiem wariacyjnym oraz problemem stabilności atomów i cząsteczek.
c) Zagadnienia nieliniowe w kwantowym problemie wielu ciał i ich związek z rachunkiem wariacyjnym.
Koordynatorzy przedmiotu
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
1. Zna podstawowe pojęcia rachunku wariacyjnego, w szczególności funkcjonał, pochodną wariacyjną oraz równania Eulera–Lagrange’a.
2. Rozumie zasady najmniejszego działania w mechanice klasycznej oraz ich wzajemne związki i interpretacje fizyczne.
3. Potrafi wyprowadzać równania Eulera–Lagrange’a dla prostych zagadnień wariacyjnych, a także rozwiązywać je w niektórych przypadkach.
4. Potrafi stosować metody wariacyjne do analizy wybranych problemów mechaniki klasycznej.
5. Rozumie związek między rachunkiem wariacyjnym a równaniem Schrödingera w mechanice kwantowej.
6. Potrafi interpretować proste problemy istnienia stanów związanych i stabilności układów atomowych w ujęciu wariacyjnym.
Kryteria oceniania
Egzamin ustny.
Literatura
* I. M. Gelfand, S. V. Fomin: Calculus of Variations, Dover Publications.
* E. H. Lieb, M. Loss: Analysis (Chapters 10 and 11), AMS.
* M. Levi: Classical Mechanics with Calculus of Variations, AMS.
* A. Rojo, A. Bloch: The Principle of Least Action: History and Physics, Cambridge University Press.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami: