Geometryczny rachunek wariacyjny 1000-1M26GRW
1. Rozmaitości zanurzone w R^n (narzędzia opisu); [Federer1969, §§3.1.19-20]
2. Wzory area i coarea dla funkcji Lipschitzowskich; [Federer1969, §§3.2.2-12]
3. Zbiory przeliczalnie prostowalne; [Federer1969, §§3.2.14-15]
4. Aproksymatywne różniczkowanie i wektory styczne; [Federer1969, §§3.2.16-19]
5. Wzory area i coarea na zbiorach prostowalnych (poglądowo); [Federer1969, §§3.2.20-22]
6. Prostowalne i całkowite varifoldy; [Allard1972, §§3.1-2]
7. Pierwsza wariacja względem anizotropowego funkcjonału; [Allard1972, §§4.1-4], [Allard1986, §2.1], [DPDRG2018, Appendix A]
8. Średnia krzywizna i druga forma podstawowa w wersji anizotropowej; [Allard1986, §2.1], [DPDRH2019, §2]
9. Słaba zasada maksimum; [White2010]
10. Formuła monotoniczności i jej konsekwencje; [Allard1972, §5.1], [Menne2016, §4]
11. Twierdzenie o zwartości dla całkowitych i prostowalnych varifoldów; [Allard1972, §5.6 i §6.4]
12. Eliptyczność funkcjonałów według Almgrena; [Almgren1968], [FK2018]
13. Warunek atomowy i jego związek z eliptycznością; [DRK2020]
14. Istnienie i regularność minimów (poglądowo/informacyjnie); [Almgren1968]
15. Regularność punktów krytycznych (informacyjnie); [Allard1986]
Na ćwiczeniach:
1. Iloczyn tensorowy i potęga zewnętrzna przestrzeni liniowych
2. Orientacja podprzestrzeni liniowej
3. Jakobian i jego różniczka
4. Modele Grassmannianu: rzuty ortogonalne lub proste jednostkowe k-wektory
5. Przykłady naturalnie pojawiających się funkcjonałów, o których nie wiadomo czy są eliptyczne.
(Holmes-Thompson, Busemann-Hausdorff, Minkowski content względem nieeuklidesowej normy)
6. Wypukłość lagranżjanu, a eliptyczność w przypadku orientowalnym
7. Omówienie problemu otwartego: istnienie/konstrukcja eliptycznych funkcjonałów
8. Omówienie problemu otwartego: czy eliptyczność Almgrena implikuje warunek atomowy?
9. Omówienie problemu otwartego: czy słaba zasada maksimum zachodzi w wyższych kowymiarach?
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń za chodzenie.
Egzamin na ocenę - ustny.
Literatura
[Simon2014] Leon Simon, Introduction to geometric measure theory, 2014, Tsinghua Lectures, Vol. 2, No. 2
[Federer1969] Herbert Federer. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153. Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.
[Allard1972] William K. Allard. On the first variation of a varifold. Ann. of Math. (2), 95:417–491, 1972.
[Allard1986] William K. Allard. An integrality theorem and a regularity theorem for surfaces whose first variation with respect to a parametric elliptic integrand is controlled. In Geometric measure theory and the calculus of variations (Arcata, Calif., 1984), volume 44 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 1–28. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986.
[DPDRG2018] Guido De Philippis, Antonio De Rosa, and Francesco Ghiraldin. Rectifiability of varifolds with locally bounded first variation with respect to anisotropic Surface energies. Comm. Pure Appl. Math., 71(6):1123–1148, 2018.
[DPDRH2019] De Philippis, G., De Rosa, A., Hirsch, J.: The Area Blow Up set for bounded mean curvature submanifolds with respect to elliptic surface energy functionals. Discrete Contin. Dyn. Syst. - A. 39(12), 7031–7056, 2019
[White2010] Brian White. The maximum principle for minimal varieties of arbitrary codimension. Comm. Anal. Geom., 18(3):421–432, 2010.
[Menne2016] Ulrich Menne. Weakly differentiable functions on varifolds. Indiana Univ. Math. J., 65(3):977–1088, 2016.
[Almgren1968] F. J. Almgren, Jr. Existence and regularity almost everywhere of solutions to elliptic variational problems among surfaces of varying topological type and singularity structure. Ann. of Math. (2), 87:321–391, 1968.
[FK2018] Yangqin Fang and Sławomir Kolasiński. Existence of solutions to a general geometric elliptic vari- ational problem. Calc. Var. Partial Differential Equations, 57(3):Art. 91, 71, 2018.
[DRK2020] Antonio De Rosa and Sławomir Kolasiński. Equivalence of the ellipticity conditions for geometric variational problems. Comm. Pure Appl. Math., 73(11):2473–2515, 2020.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami: